탄성계수(modulus of elasticity), 전단탄성계수(shear modulus), 푸아송비(Poisson's ratio)의 관계성

등방 탄성체의 두 독립상수: $G=E/[2(1+\nu )]$의 유도와 푸아송비의 역할

Derivation of the E–G Relation in Isotropic Elasticity: Poisson's Ratio, Code-Specified Material Constants (KDS / AISC / Eurocode), and Their Consequences in Shear Deflection and Lateral-Torsional Buckling

초 록 (ABSTRACT) 등방 선형탄성체의 탄성상수는 $E$, $\nu$, $G$, $K$ 네 가지가 통용되나 독립적인 것은 두 개뿐이며, 이 사실이 $G=E/[2(1+\nu )]$라는 관계식으로 응축된다. 본 고는 이 관계식을 순수전단 상태의 응력변환과 요소의 기하학적 변형 두 경로로 유도하고, 푸아송비의 물리적 의미와 열역학적 상한 $\nu <1/2$를 정리한다. 이어 KDS·AISC 360-22·EN 1993-1-1의 강재 재료상수 규정을 대조하여 세 기준 모두 $G$를 올림 처리한 결과 내재 푸아송비가 0.295~0.298로 어긋남을 보이고, H형강 캔틸레버의 전단처짐과 탄성 횡비틀림좌굴 모멘트에 대한 민감도 해석으로 그 실무적 의미를 정량화한다. 목재의 $G\approx E/16$ 관행이 등방식으로 환산 시 $\nu \approx 7$이라는 물리적 모순을 낳는다는 점을 통해 관계식의 적용 한계를 명시한다.

주제어 — 탄성계수(modulus of elasticity), 전단탄성계수(shear modulus), 푸아송비(Poisson's ratio), 등방성(isotropy), 순수전단(pure shear), 전단변형(shear deformation), 직교이방성(orthotropy), 재료상수(material constants)

목 차

1. 서론
2. 이론적 배경: 등방 탄성체의 독립 상수
3. 설계기준 비교 — KR / US / EU
4. 설계 예제: H형강 캔틸레버의 전단처짐과 횡비틀림좌굴
5. 고찰
6. 결론
7. 기호 및 약어
8. 참고문헌

1. 서론

구조해석 프로그램에 재료를 정의할 때 대부분의 사용자는 탄성계수 $E$와 푸아송비 $\nu$만 입력한다. 전단탄성계수 $G$는 프로그램이 자동으로 계산하며, 사용자가 그 값을 다시 확인하는 일은 드물다. 그러나 이 자동 계산의 근거인 $G=E/[2(1+\nu )]$는 단순한 경험식이 아니라 재료가 등방(isotropic)이라는 가정에서 필연적으로 도출되는 항등식이며, 반대로 이 관계가 성립하지 않는 재료를 등방으로 모델링하면 해석 결과는 틀린다.

이 관계식이 실무 결과를 좌우하는 국면은 생각보다 넓다. 깊은 보와 전이보의 처짐 검토에서 전단변형 성분은 $GA$에 반비례하고, 강재 보의 탄성 횡비틀림좌굴 모멘트에는 $\sqrt{E{I}_{y}GJ}$ 항이 직접 등장하며, 전단벽을 셸 요소로 모델링할 때 면내 강성은 $Gt$에 지배된다. 지반–구조 상호작용에서는 전단파속도로부터 $G_{max}=\rho V_s^2$를 산정하고 여기서 $E$를 역산한다. 즉 $E$와 $G$를 잇는 다리를 어떻게 놓느냐가 처짐·좌굴·동특성 전반에 파급된다.

흥미로운 점은 각국 설계기준이 이 관계식을 그대로 쓰지 않는다는 것이다. KDS는 $E=\mathrm{205,000}\mathrm{MPa}$, $\nu =0.3$을 규정하면서 $G=\mathrm{79,000}\mathrm{MPa}$를 함께 명시하는데, 관계식에 대입한 값은 78,846 MPa이다. AISC 360-22와 EN 1993-1-1에서도 동일한 종류의 불일치가 나타난다. 이 어긋남은 오류가 아니라 반올림 관행의 산물이지만, 어느 값을 쓰느냐에 따라 내재된 푸아송비가 0.2946에서 0.2975까지 달라진다는 사실은 그 자체로 검토할 가치가 있다.

본 글의 범위 — 본 글은 등방·선형탄성·미소변형 범위에서 성립하는 탄성상수 간의 대수적 관계와 그 설계기준 반영에 한정한다. 콘크리트의 균열 후 비선형 거동, 소성역의 접선강성, 점탄성·크리프에 의한 유효탄성계수의 시간 의존성, 그리고 직교이방성 재료의 완전한 강성행렬 구성은 각각 별도 논고에서 다루며, 여기서는 등방 가정이 깨지는 경계를 확인하는 수준에서만 언급한다. 또한 유도의 각 단계를 생략 없이 제시하되, 기준 간 비교와 민감도 해석에서는 실무·연구 수준의 논의한다.

2. 이론적 배경: 등방 탄성체의 독립 상수

2.1 일반화 Hooke 법칙과 푸아송비의 정의

단축 인장 시험을 생각하자. 축방향으로 ${\sigma }_x$만 작용할 때 축방향 변형률은 ${\epsilon }_x={\sigma }_x/E$이고, 하중이 걸리지 않은 횡방향으로도 변형이 발생한다. 이 횡방향 수축과 축방향 신장의 비를 부호를 뒤집어 정의한 것이 푸아송비이다.

$$\nu \equiv -\frac{{\epsilon }_{\text{lat}}}{{\epsilon }_{\text{long}}}=-\frac{{\epsilon }_y}{{\epsilon }_x}=-\frac{{\epsilon }_z}{{\epsilon }_x}({\sigma }_y={\sigma }_z=0)$$

(1)

음의 부호는 통상의 재료가 인장 시 횡방향으로 수축하여 ${\epsilon }_y<0$이 되므로, $\nu$를 양수로 만들기 위해 붙인 것이다. 이 정의는 하중 방향과 수직인 면에 응력이 없는 상태를 전제하므로, 삼축 구속 상태에서 관측되는 횡방향 변형비를 그대로 $\nu$로 부르면 안 된다. 그림 1은 정의 상황을 도시한 것이다.

그림 1. 단축 인장을 받는 요소의 종방향 신장과 횡방향 수축. 푸아송비는 $\nu =(\mathrm{\Delta }b/b)/(\mathrm{\Delta }L/L)$로 정의되며, 횡방향 면이 무응력 상태일 때에만 유효하다.

등방 재료에 3축 수직응력이 동시에 작용하면 중첩원리에 의해 각 방향 변형률은 다음과 같이 정리된다.

$${\epsilon }_x=\frac{1}{E}[{\sigma }_x-\nu ({\sigma }_y+{\sigma }_z)],{\epsilon }_y=\frac{1}{E}[{\sigma }_y-\nu ({\sigma }_z+{\sigma }_x)],{\epsilon }_z=\frac{1}{E}[{\sigma }_z-\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_y)]$$

(2)

전단 성분은 수직 성분과 연성되지 않으며, 등방성 덕분에 세 전단면이 동일한 계수를 공유한다.

$${\gamma }_{xy}=\frac{{\tau }_{xy}}{G},{\gamma }_{yz}=\frac{{\tau }_{yz}}{G},{\gamma }_{zx}=\frac{{\tau }_{zx}}{G}$$

(3)

식 (2)와 (3)에는 $E,\nu ,G$ 세 상수가 등장하지만, 등방성 조건은 이들이 서로 독립일 수 없음을 요구한다. 그 관계를 확정하는 것이 다음 절의 목표이다.

2.2 순수전단은 45° 회전한 2축 응력 상태이다

유도의 출발점은 순수전단(pure shear) 상태가 좌표계를 45° 회전시키면 인장·압축의 2축 응력 상태로 보인다는 사실이다. ${\sigma }_x={\sigma }_y=0$, ${\tau }_{xy}=\tau$인 평면응력 상태의 주응력은 응력변환식으로부터 즉시 얻어진다.

$${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}=0\pm \tau ⟹{\sigma }_1=+\tau ,{\sigma }_2=-\tau$$

(4)

주응력의 방향은 $\tan 2{\theta }_p=2{\tau }_{xy}/({\sigma }_x-{\sigma }_y)\to \mathrm{\infty }$에서 $2{\theta }_p={90}^{\circ }$, 즉 ${\theta }_p={45}^{\circ }$이다. 그림 2는 이 등가성을, 그림 3은 동일한 내용을 Mohr 응력원으로 표현한 것이다. Mohr 원에서 순수전단은 중심이 원점에 놓이고 반지름이 $\tau$인 원이며, 평균응력이 0이므로 체적변화를 일으키지 않는 순수한 형상변형(distortion)임이 한눈에 드러난다.

그림 2. 순수전단 요소(a)와 45° 회전요소(b)의 등가성. 동일한 응력 상태를 두 좌표계에서 본 것일 뿐이며, 회전요소의 두 주응력은 크기가 같고 부호가 반대인 ${\sigma }_1=+\tau$, ${\sigma }_2=-\tau$이다.

그림 3. 순수전단 상태의 Mohr 응력원. 중심이 원점에 놓이므로 정수압 성분이 0이며, 요소는 체적 변화 없이 형상만 변한다. 응력원에서 $x$면으로부터 주축까지의 각은 $2\theta ={90}^{\circ }$, 즉 실제 회전각은 45°이다.

2.3 첫 번째 경로: 응력–변형률 관계에 의한 유도

45° 회전요소는 ${\sigma }_1=+\tau$, ${\sigma }_2=-\tau$, ${\sigma }_3=0$인 2축 응력 상태에 놓여 있다. 식 (2)를 주축 좌표계에 적용하면 주응력 ${\sigma }_1$ 방향의 수직변형률은 다음과 같다.

$${\epsilon }_{{45}^{\circ }}={\epsilon }_1=\frac{1}{E}[{\sigma }_1-\nu ({\sigma }_2+{\sigma }_3)]=\frac{1}{E}[\tau -\nu (-\tau )]=\frac{\tau (1+\nu )}{E}$$

(5)

여기서 $(1+\nu )$라는 인자가 어디서 왔는지 주목할 필요가 있다. 45° 방향의 인장이 그 방향을 늘리는 동시에, 이에 직교하는 방향의 압축이 푸아송 효과로 같은 방향을 한 번 더 늘린다. 두 기여가 더해져 $1+\nu$가 된다. 푸아송비가 크면 클수록 같은 전단응력에 대해 45° 방향의 신장이 커지고, 따라서 재료는 전단에 더 물러진다. $G$가 $\nu$의 증가함수의 역수로 나타나는 물리적 이유가 여기에 있다.

2.4 두 번째 경로: 요소의 기하학적 변형

같은 결과를 순수한 기하학으로도 얻을 수 있으며, 이 경로가 ${\epsilon }_{{45}^{\circ }}$와 전단변형률 $\gamma$를 연결한다. 한 변의 길이가 $a$인 정사각형 요소가 순수전단을 받아 마름모꼴로 변형되면, 상단이 $\mathrm{\Delta }=\gamma a$만큼 수평 이동한다(그림 4). 이때 대각선의 길이 변화를 추적한다.

그림 4. 순수전단을 받는 정사각형 요소의 기하학적 변형. 대각선(45° 방향)의 미소 신장률이 공학전단변형률의 절반과 같다는 관계 ${\epsilon }_{{45}^{\circ }}=\gamma /2$가 유도된다.

변형 전 대각선의 길이는 $d=\sqrt{2}a$이고, 변형 후에는 밑변 $a+\gamma a$와 높이 $a$를 갖는 직각삼각형의 빗변이 되므로

$$d+\mathrm{\Delta }d=a\sqrt{(1+\gamma {)}^2+1}=\sqrt{2}a\sqrt{1+\gamma +\frac{{\gamma }^2}{2}}\simeq \sqrt{2}a(1+\frac{\gamma }{2})$$

(6)

이며, 마지막 근사는 $\gamma \ll 1$에서 ${\gamma }^2$ 항을 버리고 $\sqrt{1+x}\simeq 1+x/2$를 적용한 것이다. 따라서 45° 방향의 수직변형률은

$${\epsilon }_{{45}^{\circ }}=\frac{\mathrm{\Delta }d}{d}=\frac{\gamma }{2}$$

(7)

이 결과는 변형률 변환식에서도 곧바로 확인된다. ${\epsilon }_x={\epsilon }_y=0$인 순수전단에 대해 ${\epsilon }_{\theta }=\frac{{\epsilon }_x+{\epsilon }_y}{2}+\frac{{\epsilon }_x-{\epsilon }_y}{2}\cos 2\theta +\frac{{\gamma }_{xy}}{2}\sin 2\theta$에 $\theta ={45}^{\circ }$를 대입하면 ${\epsilon }_{{45}^{\circ }}={\gamma }_{xy}/2$이다. 여기서 $\gamma /2$라는 형태는 우연이 아니라, 텐서 전단변형률 ${\epsilon }_{xy}$와 공학 전단변형률 ${\gamma }_{xy}$의 관계 ${\epsilon }_{xy}={\gamma }_{xy}/2$ 그 자체이다. 변형률을 텐서로 다루면 변환식에 2가 나타나지 않으며, 유한요소 코드가 내부적으로 $\gamma$ 대신 ${\epsilon }_{xy}$를 쓰는 이유도 여기에 있다.

2.5 관계식의 확정

식 (5)와 식 (7)은 동일한 물리량 ${\epsilon }_{{45}^{\circ }}$를 각각 응력–변형률 관계와 기하학으로 표현한 것이다. 두 식을 같게 놓으면

$$\frac{\gamma }{2}=\frac{\tau (1+\nu )}{E}⟹\gamma =\frac{2(1+\nu )}{E}\tau$$

(8)

이고, $G\equiv \tau /\gamma$의 정의에 의해 다음을 얻는다.

$$\boxed{{\displaystyle G=\frac{E}{2(1+\nu )}}}$$

(9)

이 관계는 실험식이 아니라 등방성 가정의 논리적 귀결이다. 따라서 등방 재료에서는 $E,\nu ,G$ 중 두 개만 독립이며, 세 값을 임의로 지정하면 그 재료는 더 이상 등방이 아니다.

2.6 체적탄성계수와 Lamé 상수, 그리고 $\nu$의 상한

동일한 논리를 정수압 상태에 적용하면 체적탄성계수(bulk modulus) $K$가 얻어진다. ${\sigma }_x={\sigma }_y={\sigma }_z=-p$를 식 (2)에 대입하면 각 방향 변형률은 $-p(1-2\nu )/E$이고, 체적변형률은 그 3배이므로

$${\epsilon }_v=\frac{\mathrm{\Delta }V}{V}=-\frac{3(1-2\nu )}{E}p⟹K\equiv -\frac{p}{{\epsilon }_v}=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

(10)

연속체역학에서 즐겨 쓰는 Lamé 상수는 $\mu =G$와

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}=K-\frac{2G}{3}$$

(11)

로 정의되며, 응력–변형률 관계는 ${\sigma }_{ij}=\lambda {\delta }_{ij}{\epsilon }_{kk}+2\mu {\epsilon }_{ij}$라는 간결한 형태가 된다. 변형에너지 밀도를 정수압 성분과 편차 성분으로 분해하면 두 상수의 역할이 분리된다.

$$U=\underset{\text{체적변화}}{\underbrace{\frac{p^2}{2K}}}+\underset{\text{형상변화}}{\underbrace{\frac{s_{ij}{s}_{ij}}{4G}}}(s_{ij}={\sigma }_{ij}-\frac{1}{3}{\delta }_{ij}{\sigma }_{kk})$$

(12)

열역학 제2법칙은 임의의 변형에 대해 변형에너지가 양이어야 함을 요구하므로 $K>0$이고 $G>0$이며, 식 (9)와 (10)에 이를 대입하면 푸아송비의 이론적 범위가 확정된다.

$$-1<\nu <\frac{1}{2}$$

(13)

$\nu \to 1/2$는 $K\to \mathrm{\infty }$, 즉 비압축성을 뜻한다. 고무와 비배수 조건의 포화 점토가 이 극한에 근접하며, 이 경우 통상의 변위기반 유한요소는 체적잠김(volumetric locking)을 일으켜 강성이 과대평가된다. 혼합정식화(mixed formulation)나 선택적 감차적분이 필요한 이유가 여기에 있다. 반대로 $\nu <0$인 재료(auxetic material)도 이론적으로 허용되며, Lakes(1987)가 재입체(re-entrant) 셀 구조 폼에서 이를 실증하였다.

표 1. 등방 선형탄성 상수의 상호 변환 (임의의 두 상수로부터 나머지를 결정)

구하려는 값	$(E,\nu )$ 로부터	$(G,\nu )$ 로부터	$(K,G)$ 로부터
$E$	—	$2G(1+\nu )$	${\displaystyle \frac{9KG}{3K+G}}$
$G$	${\displaystyle \frac{E}{2(1+\nu )}}$	—	—
$K$	${\displaystyle \frac{E}{3(1-2\nu )}}$	${\displaystyle \frac{2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	—
$\lambda$	${\displaystyle \frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\displaystyle \frac{2G\nu }{1-2\nu }}$	$K-{\displaystyle \frac{2G}{3}}$
$\nu$	—	—	${\displaystyle \frac{3K-2G}{2(3K+G)}}$

그림 5. 푸아송비에 따른 $G/E$ 및 $K/E$의 변화. $G/E$는 0.500($\nu =0$)에서 0.333($\nu =0.5$)까지 완만하게 변하는 반면, $K/E$는 $\nu \to 0.5$에서 발산한다. 전단강성은 푸아송비에 둔감하고 체적강성은 극도로 민감하다는 사실이 설계상 중요하다.

그림 5는 실무적으로 유용한 비대칭성을 보여준다. 푸아송비를 0.15에서 0.30까지 두 배로 바꾸어도 $G/E$는 0.435에서 0.385로 약 12% 변할 뿐이다. 전단강성은 푸아송비의 불확실성에 상당히 둔감하다. 반면 $K/E$는 같은 구간에서 0.476에서 0.833으로 75% 증가한다. 콘크리트의 푸아송비를 0.18로 잡느냐 0.20으로 잡느냐가 보·기둥 해석에는 거의 영향이 없지만, 구속된 매스콘크리트나 3차원 응력장을 다루는 해석에서는 무시할 수 없는 차이를 낳는 이유가 여기에 있다.

표 2. 대표 재료의 탄성상수 ($G$는 별도 표기가 없으면 식 (9)에 의한 환산값)

재료	$E$ (MPa)	$\nu$	$G$ (MPa)	비고
구조용 강재	205,000	0.30	79,000	KDS 규정값 (환산값 78,846)
알루미늄 합금	70,000	0.33	26,300	합금 종류에 따라 ±5%
보통콘크리트 $f_{ck}=30$	27,500	0.18~0.20	11,500~11,700	$E_c$는 KDS 식에 의함
유리	70,000	0.22	28,700	—
고무(가황)	2~10	≈0.4999	0.7~3.3	거의 비압축성, $K/G\sim {10}^4$
코르크	—	≈0	—	횡변형이 거의 없음
침엽수 제재목 C24	11,000 ($E_{0,\text{mean}}$)	—	690 ($G_{\text{mean}}$)	직교이방성 — 식 (9) 적용 불가

표 2의 마지막 행은 이 관계식의 한계를 드러낸다. EN 338의 C24 등급 침엽수는 섬유방향 탄성계수 $E_{0,\text{mean}}=\mathrm{11,000}\mathrm{MPa}$와 전단탄성계수 $G_{\text{mean}}=690\mathrm{MPa}$를 규정하는데, 이를 식 (9)에 억지로 대입하여 $\nu =E/(2G)-1$을 역산하면 $\nu \simeq 6.97$이 된다. 이는 식 (13)의 이론적 상한 0.5를 14배 초과하는 값으로, 목재가 등방 재료가 아님을 수치적으로 선언한다. 직교이방성 재료에서 $G_{xy}$는 $E$와 $\nu$로부터 유도되는 종속변수가 아니라 독립적으로 측정되어야 하는 별개의 물성이다.

2.7 역사적 배경: 하나의 상수인가 두 개인가

19세기 전반 탄성론은 격렬한 논쟁의 무대였다. Navier(1821)와 Poisson(1827)이 세운 분자간 중심력 모형(rari-constant theory)은 등방 재료의 탄성상수가 단 하나이며, 그 필연적 결과로 모든 재료의 푸아송비가 $\nu =1/4$로 고정된다고 예측하였다. 이 이론에서 $G=E/2.5=0.4E$이다. 반면 Green(1837)이 변형에너지 함수로부터 출발한 다상수 이론(multi-constant theory)은 등방 재료에 두 개의 독립 상수를 허용하였다.

이 논쟁은 19세기 말 Voigt의 정밀한 결정체 실험을 통해 다상수 이론의 승리로 종결되었다. 강재의 $\nu \simeq 0.30$, 콘크리트의 $\nu \simeq 0.2$, 유리의 $\nu \simeq 0.22$가 모두 1/4에서 벗어난다는 사실이 이를 뒷받침한다. Love(1927)의 고전적 저작 제1장이 이 역사를 상세히 기술하고 있다. 오늘날 우리가 $E$와 $\nu$를 두 개의 입력값으로 다루는 것은 이 논쟁의 결론을 물려받은 것이며, 구조기준이 $E$와 $G$를 각각 명시하는 관행 역시 같은 맥락에 있다.

3. 설계기준 비교 — KR / US / EU

3.1 강재: 세 기준이 채택한 $E$와 $G$

강재는 등방성 가정이 가장 잘 성립하는 구조재료이며, 따라서 세 기준 모두 식 (9)와 정합적인 값을 제시할 것으로 기대된다. 실제 규정값은 다음과 같다. KDS 14 31 05 :2017(강구조 설계 일반사항)은 $E_s=\mathrm{205,000}\mathrm{MPa}$, $G=\mathrm{79,000}\mathrm{MPa}$, $\nu =0.3$을, AISC 360-22는 $E=\mathrm{29,000}\mathrm{ksi}$, $G=\mathrm{11,200}\mathrm{ksi}$를, EN 1993-1-1:2005 §3.2.6은 $E=\mathrm{210,000}\mathrm{N}/{\mathrm{mm}}^2$, $\nu =0.3$, $G=E/[2(1+\nu )]\simeq \mathrm{81,000}\mathrm{N}/{\mathrm{mm}}^2$을 규정한다.

여기서 각 기준이 규정한 $E$와 $G$를 식 (9)에 역대입하여 내재 푸아송비 ${\nu }_{\text{imp}}=E/(2G)-1$을 산정하면 흥미로운 결과가 나온다.

$$\begin{array}{rl}{\nu }_{\text{imp}}^{\text{KDS}}& =\frac{\mathrm{205,000}}{2(\mathrm{79,000})}-1=0.2975\\ {\nu }_{\text{imp}}^{\text{AISC}}& =\frac{\mathrm{29,000}}{2(\mathrm{11,200})}-1=0.2946\\ {\nu }_{\text{imp}}^{\text{EN}}& =\frac{\mathrm{210,000}}{2(\mathrm{81,000})}-1=0.2963\end{array}$$

(14)

세 기준 모두 $\nu =0.3$을 명시하면서도 내재 푸아송비는 0.2946~0.2975로 어긋난다. 원인은 단순하다. $\mathrm{205,000}/2.6=\mathrm{78,846}$, $\mathrm{29,000}/2.6=\mathrm{11,154}$, $\mathrm{210,000}/2.6=\mathrm{80,769}$를 각각 79,000 / 11,200 / 81,000으로 올림했기 때문이다. 세 기준이 모두 같은 방향(올림)으로 처리했다는 점은 우연이 아니라 유효숫자 두 자리의 관행적 절사에서 비롯된다. 실무적 함의는 다음과 같다.

• $G$ 규정값을 쓰면 식 (9)로 환산한 값보다 0.2~0.4% 큰 전단강성을 사용하게 된다. 처짐 검토에서 이 차이는 무시할 수 있다.
• 그러나 유한요소 프로그램에 $E$와 $\nu$만 입력하면 프로그램은 78,846 MPa를 쓰고, 수계산은 79,000 MPa를 쓴다. 검증(verification) 단계에서 0.2%의 계통적 차이가 나타나는데, 이를 프로그램 오류로 오인해서는 안 된다.
• 세 기준의 $E$ 자체가 205,000 / 199,948 / 210,000 MPa로 최대 5.0% 차이가 난다. 이는 강재 물성의 실질적 차이가 아니라 단위계와 역사적 관행의 산물이며, 실측 탄성계수는 대체로 200~210 GPa 범위에 분포한다.

3.2 콘크리트: $E_c$ 정의의 근본적 불일치

콘크리트에서는 상황이 전혀 다르다. $G_c=E_c/[2(1+\nu )]$라는 관계는 세 기준에서 동일하지만, 그 입력이 되는 $E_c$의 정의가 서로 다르기 때문이다.

$$\begin{array}{rlrl}\text{KDS:}& E_c=8500\sqrt[3]{f_{cm}},& & f_{cm}=f_{ck}+\mathrm{\Delta }f\\ \text{ACI:}& E_c=4700\sqrt{f_{ck}^{\prime }}& & \\ \text{EN:}& E_{cm}=22000{\left(f_{cm}/10\right)}^{0.3},& & f_{cm}=f_{ck}+8\text{MPa}\end{array}$$

(15)

$f_{ck}=30\mathrm{MPa}$의 보통중량 콘크리트에 대해 계산하면 $E_c$는 KDS 27,537 MPa, ACI 25,743 MPa, EN 32,837 MPa이며, EN 값은 ACI 값보다 27.6% 크다. $\nu =0.2$를 공통 적용하면 $G_c$도 같은 비율로 벌어져 각각 11,474 / 10,726 / 13,682 MPa가 된다. 이 차이의 근원은 다음과 같다.

• 평균강도의 정의가 다르다. KDS는 $f_{cm}=f_{ck}+\mathrm{\Delta }f$($f_{ck}\le 40$일 때 $\mathrm{\Delta }f=4\mathrm{MPa}$)를, EN은 $f_{cm}=f_{ck}+8\mathrm{MPa}$를 쓴다. ACI는 특성강도 $f_{ck}^{\prime }$를 직접 대입한다. 같은 $f_{ck}=30$이라도 대입되는 강도가 30 / 34 / 38 MPa로 달라진다.
• 골재의 기준이 다르다. EN 1992-1-1:2004는 규암(quartzite) 골재를 기준으로 하고 석회암 골재는 $-10\mathrm{\%}$, 사암은 $-30\mathrm{\%}$, 현무암은 $+20\mathrm{\%}$의 보정을 권고한다. 골재의 탄성계수가 콘크리트 $E_c$를 지배한다는 사실을 명시적으로 반영한 것이다.
• 지수 형태의 배경이 다르다. EN의 0.3승과 KDS의 세제곱근(0.333승)은 CEB-FIP Model Code 계열의 회귀 형식을, ACI의 제곱근은 미국 시험 데이터베이스에 대한 별도 회귀를 따른다. ACI 318-19 해설은 실측값의 산포가 $\pm 20\mathrm{\%}$에 달함을 인정하고 있다.

푸아송비에 대해서는 EN 1992-1-1:2004 §3.1.3(4)만이 명시적 규정을 둔다. 비균열 상태 $\nu =0.2$, 균열 상태 $\nu =0$이다. 균열이 발생하면 횡방향 연성이 소멸한다는 물리를 설계값에 직접 반영한 것으로, 균열 상태에서는 $G_c=E_c/2=0.5E_c$가 된다. KDS 14 20 계열과 ACI 318-19 본문은 콘크리트 푸아송비에 대한 설계값 규정을 두지 않으며, 국내외 실무에서는 통상 0.18~0.20을 사용한다.

표 3. 탄성상수 관련 규정의 KR / US / EU 비교 ($f_{ck}=30\mathrm{MPa}$, 보통중량 콘크리트 기준)

항목	한국 (KR)	미국 (US)	유럽 (EU)
근거 기준	KDS 14 31 05 :2017 KDS 14 20 10 :2022	AISC 360-22 ACI 318-19	EN 1993-1-1:2005 EN 1992-1-1:2004
강재 $E$	205,000 MPa	29,000 ksi (199,948 MPa)	210,000 MPa
강재 $G$	79,000 MPa (규정)	11,200 ksi (77,221 MPa, 규정)	≈81,000 MPa (식으로 제시)
강재 $\nu$ (명시)	0.30	0.30	0.30
내재 ${\nu }_{\text{imp}}$	0.2975	0.2946	0.2963
콘크리트 $E_c$ 식	$8500\sqrt[3]{f_{cm}}$ $f_{cm}=f_{ck}+4$	$4700\sqrt{f_{ck}^{\prime }}$	$22000(f_{cm}/10{)}^{0.3}$ $f_{cm}=f_{ck}+8$
$E_c$ ($f_{ck}=30$)	27,537 MPa	25,743 MPa	32,837 MPa
콘크리트 $\nu$	규정 없음 (실무 0.18~0.20)	규정 없음 (실무 0.20)	0.2 (비균열) / 0 (균열)
$G_c$ ($\nu =0.2$)	11,474 MPa	10,726 MPa	13,682 MPa
목재 $G$ 관행	$G\simeq E/16$	NDS: $G\simeq E/16$	EN 338 C24: $E_0/G=15.9$
안전율 형식	하중계수 + $\varphi$	하중계수 + $\varphi$	${\gamma }_F$ (하중) + ${\gamma }_M$ (재료)
강성에 대한 계수	미적용 (평균값)	미적용 (평균값)	2차효과 해석 시 $E_{cd}=E_{cm}/{\gamma }_{CE}$, ${\gamma }_{CE}=1.2$

안전율 형식의 구분 — 위 표의 마지막 두 행은 서로 다른 안전 체계를 나란히 놓은 것이므로 혼동에 주의해야 한다. KDS·ACI·AISC의 강도설계는 하중측 계수와 강도감소계수 $\varphi$로 안전여유를 확보하고, EN 1990 체계는 작용측 ${\gamma }_F$와 재료측 ${\gamma }_M$으로 분리한다. 그러나 두 체계 모두 탄성해석에 쓰이는 강성($E$, $G$)에는 원칙적으로 안전계수를 적용하지 않고 평균값을 사용한다. 강성을 낮추는 것이 반드시 안전측이 아니기 때문이다(부정정 구조의 하중 재분배, 강성비에 지배되는 전이부재 등). 유일한 예외격인 EN 1992-1-1:2004의 2차 효과 해석 규정은 좌굴 안정성이 강성에 직접 지배되는 상황에 한하여 ${\gamma }_{CE}=1.2$를 부과한다.

3.3 차이의 기원과 실무적 판단

세 기준의 강재 $E$ 차이(최대 5.0%)는 재료의 차이가 아니라 관행의 차이이므로, 국내 프로젝트에서 미국이나 유럽 기준을 인용하더라도 강성 산정은 국내 기준값으로 일관되게 처리하는 것이 옳다. 반면 콘크리트 $E_c$의 차이(최대 27.6%)는 정의 자체가 다르다는 실질적 문제이므로, 해외 기준으로 설계된 구조물의 재해석이나 국제 협업 프로젝트에서는 반드시 어느 정의를 채택했는지를 명시해야 한다. 특히 사용성 한계상태(처짐, 사용성 가속도, 층간변위)는 $E_c$에 선형 비례하므로 27.6%의 차이가 그대로 결과에 전달된다.

덧붙여, 균열 상태의 유효강성 규정은 휨과 전단을 대칭적으로 다루지 않는다. ACI 318-19의 유효강성 규정은 벽체 휨강성을 비균열 $0.70I_g$, 균열 $0.35I_g$로 낮추지만 단면적은 $1.0A_g$로 유지하며, ASCE/SEI 41-17의 콘크리트 부재 유효강성 규정 역시 벽체 전단강성을 $0.4E_c{A}_w$로 취한다. $\nu =0.2$일 때 탄성 $G_c{A}_w=0.417E_c{A}_w$이므로, 휨강성은 65%를 깎으면서 전단강성은 4%만 깎는 셈이다. 균열이 심한 저층 전단벽에서 이 비대칭은 전단변형을 과소평가하는 방향으로 작용하므로, 성능평가 시 별도의 판단이 요구된다.

4. 설계 예제: H형강 캔틸레버의 전단처짐과 횡비틀림좌굴

식 (9)가 실제 설계 결과에 어떻게 전달되는지를 두 가지 검토 항목 — 사용성(처짐)과 안정성(횡비틀림좌굴) — 을 통해 정량화한다. 대상은 H-500×200×10×16 (SM355) 단면의 캔틸레버 보이며, 자유단에 $P=100\mathrm{kN}$이 작용한다.

그림 6. (a) 캔틸레버 해석 모델과 단면 제원, (b) 경간비 $L/d$에 따른 전단처짐 대 휨처짐 비율. 비율은 $L^{-2}$에 비례하여 급감하므로 $L/d\gtrsim 8$에서는 5% 미만이 된다.

단계 1 — 단면 제원 산정 (필렛 무시, 3판 근사)

웨브 높이 $h_w=d-2t_f=500-2(16)=468\mathrm{mm}$이다.

• $A=2b_f{t}_f+h_w{t}_w=2(200)(16)+(468)(10)=\mathrm{11,080}{\mathrm{mm}}^2$
• $I_x={\displaystyle \frac{b_f{d}^3-(b_f-t_w)h_w^3}{12}}={\displaystyle \frac{200(500{)}^3-190(468{)}^3}{12}}=4.604\times {10}^8{\mathrm{mm}}^4$
• $I_y={\displaystyle \frac{2t_f{b}_f^3+h_w{t}_w^3}{12}}=2.137\times {10}^7{\mathrm{mm}}^4$
• $J={\displaystyle \frac{1}{3}}[2b_f{t}_f^3+(d-t_f)t_w^3]=7.075\times {10}^5{\mathrm{mm}}^4$
• $C_w={\displaystyle \frac{I_y(d-t_f{)}^2}{4}}={\displaystyle \frac{(2.137\times {10}^7)(484{)}^2}{4}}=1.252\times {10}^{12}{\mathrm{mm}}^6$
• 전단유효면적 $A_s=d{t}_w=(500)(10)=\mathrm{5,000}{\mathrm{mm}}^2$

필렛을 포함한 규격표 값은 $I_x$ 기준으로 통상 3~4% 크므로, 실제 설계 검토에서는 규격표 값을 사용해야 한다. 본 예제에서는 세 기준의 비교가 목적이므로 동일한 근사 단면성능을 공통으로 적용한다.

단계 2 — 처짐의 두 성분

Timoshenko 보 이론에서 자유단 처짐은 휨 성분과 전단 성분의 합이다.

$$\delta ={\delta }_b+{\delta }_s=\frac{P{L}^3}{3E{I}_x}+\frac{\kappa PL}{GA}=\frac{P{L}^3}{3E{I}_x}+\frac{PL}{G{A}_s}$$

(16)

여기서 $\kappa$는 전단보정계수(shear correction factor)로, 단면 내 전단응력 분포가 균일하지 않음을 보정한다. I형 단면에서는 전단력의 대부분을 웨브가 부담하므로 $A_s=d{t}_w$를 쓰는 실무 근사가 널리 통용되며, 이는 $\kappa =A_s/A=5000/11080=0.451$에 해당한다. Cowper(1966)가 유도한 이론적 $\kappa$는 플랜지–웨브 면적비의 함수로 이보다 다소 작으나, 통상의 H형강에서 두 값의 차이는 전단처짐에 5% 이내의 영향만 준다.

단계 3 — KDS 기준에 의한 처짐 산정

$E=\mathrm{205,000}\mathrm{MPa}$, $G=\mathrm{79,000}\mathrm{MPa}$, $P=100\times {10}^3\mathrm{N}$, $L=\mathrm{3,000}\mathrm{mm}$이다.

$${\delta }_b=\frac{(100\times {10}^3)(3000{)}^3}{3(\mathrm{205,000})(4.604\times {10}^8)}=\frac{2.700\times {10}^{15}}{2.831\times {10}^{14}}=9.536\mathrm{mm}$$

(17)

$${\delta }_s=\frac{(100\times {10}^3)(3000)}{(\mathrm{79,000})(\mathrm{5,000})}=\frac{3.000\times {10}^8}{3.950\times {10}^8}=0.759\mathrm{mm}$$

(18)

KDS 기준 자유단 처짐

$\delta =9.536+0.759=10.30\mathrm{mm}$ (전단 성분 = 전체의 7.37%)

모든 값은 계산 과정에서 유효숫자 4자리를 유지하고 최종 단계에서만 소수 둘째 자리로 반올림하였다.

단계 4 — 전단처짐의 경간 의존성

두 성분의 비를 취하면 단면 제원과 재료상수만으로 결정되는 무차원 지표가 얻어진다.

$$\frac{{\delta }_s}{{\delta }_b}=\frac{PL/(G{A}_s)}{P{L}^3/(3E{I}_x)}=\frac{3E{I}_x}{G{A}_s{L}^2}=\frac{3(\mathrm{205,000})(4.604\times {10}^8)}{(\mathrm{79,000})(\mathrm{5,000})L^2}=\frac{7.168\times {10}^5}{L^2}[{\mathrm{mm}}^2]$$

(19)

본 예제($L=\mathrm{3,000}\mathrm{mm}$, $L/d=6$)에서 ${\delta }_s/{\delta }_b=7.96\mathrm{\%}$이다. 그림 6(b)가 보이듯 이 비율은 $L^{-2}$로 감소하여 $L/d=8$에서 4.5%, $L/d=12$에서 2.0%가 된다. 반대로 $L/d=3$인 짧은 전이보에서는 31.9%에 달하므로 전단변형을 무시할 수 없다. 실무 판단 기준으로 $L/d\lesssim 8$이면 전단변형을 반드시 고려하고, 그 이상에서는 휨 이론만으로 충분하다고 정리할 수 있다.

단계 5 — 세 기준의 재료상수에 따른 처짐 차이

표 4. 기준별 재료상수 적용에 따른 자유단 처짐 ($L=3.0\mathrm{m}$, $P=100\mathrm{kN}$, 동일 단면)

기준	$E$ (MPa)	$G$ (MPa)	${\delta }_b$ (mm)	${\delta }_s$ (mm)	$\delta$ (mm)	상대차
KDS 14 31 05	205,000	79,000	9.536	0.759	10.30	기준
AISC 360-22	199,948	77,221	9.777	0.777	10.55	+2.5%
EN 1993-1-1	210,000	81,000	9.309	0.741	10.05	−2.4%

동일한 단면과 하중에 대해 세 기준의 결과가 5.0% 벌어진다. 이 차이는 전부 $E$와 $G$의 채택값에서 비롯되며, 전단처짐 비율(${\delta }_s/{\delta }_b$)은 세 기준 모두 7.95~7.96%로 사실상 동일하다. 이는 세 기준이 모두 $E/G\simeq 2.6$이라는 동일한 비를 유지하기 때문이며, 결국 기준 간 차이는 절대 강성 수준의 문제일 뿐 전단–휨 분배 비율의 문제가 아니다.

단계 6 — 탄성 횡비틀림좌굴에 대한 $G$의 민감도

양단 단순지지·균일모멘트 조건에서 탄성 횡비틀림좌굴 모멘트는 다음과 같다($L_b=6.0\mathrm{m}$ 가정).

$$M_{cr}=\frac{\pi }{L_b}\sqrt{E{I}_{y}GJ+{\left(\frac{\pi E}{L_b}\right)}^2{I}_y{C}_w}$$

(20)

수치를 대입하면 비틀림 항 $E{I}_{y}GJ=2.444\times {10}^{23}$, 뒴 항 $(\pi E/L_b{)}^2{I}_y{C}_w=3.082\times {10}^{23}[{\mathrm{N}}^2{\mathrm{mm}}^4]$이며, 비틀림 항의 비중은 ${\rho }_T=0.443$이다. 따라서 $M_{cr}=389.4\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$이다. $G$의 오차가 $M_{cr}$에 미치는 영향은 식 (20)을 미분하여 얻는다.

$$\frac{\mathrm{d}{M}_{cr}}{M_{cr}}=\frac{1}{2}{\rho }_T\frac{\mathrm{d}G}{G},{\rho }_T=\frac{E{I}_{y}GJ}{E{I}_{y}GJ+(\pi E/L_b{)}^2{I}_y{C}_w}$$

(21)

AISC의 $G=\mathrm{77,221}\mathrm{MPa}$를 적용하면 $\mathrm{d}G/G=-2.25\mathrm{\%}$이며, 식 (21)에 의한 예측은

$\mathrm{d}{M}_{cr}/M_{cr}=\frac{1}{2}(0.443)(-2.25\mathrm{\%})=-0.50\mathrm{\%}$

직접 계산값 $M_{cr}=387.5\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$ → $-0.50\mathrm{\%}$ (완전 일치)

제곱근이 오차를 절반으로 줄이고, 비틀림 항의 비중 ${\rho }_T$가 다시 절반 이하로 줄인다. 결과적으로 $G$의 2.25% 차이는 좌굴 강도에 0.5%만 전달된다. 좌굴 검토에서는 $G$의 반올림 차이를 사실상 무시할 수 있으나, 처짐 검토에서는 $G$의 오차가 전단 성분에 1:1로 전달된다는 비대칭이 실무적으로 기억할 만한 결론이다.

5. 고찰

5.1 등방 가정이 깨지는 지점

식 (9)는 등방성이 전제될 때에만 성립한다. 구조 실무에서 이 전제가 무너지는 대표적 상황은 다음과 같다.

• 목질 재료 — 목재는 섬유방향·반경방향·접선방향이 모두 다른 직교이방성 재료로, 완전한 기술에 9개의 독립 상수가 필요하다. 섬유방향 $E_0$와 전단탄성계수 $G$의 비가 15~16에 달하는 것은 식 (9)로 설명되지 않으며, 이 값은 실험적으로 결정된 것이다. CLT(직교집성판)는 층별 배향이 교차하므로 판 수준의 유효 전단강성이 추가로 감소한다(rolling shear).
• FRP 복합재 — 섬유 배향에 따라 $E_1/E_2$가 10~40에 이르며, $G_{12}$는 별도 물성이다. 등방 물성으로 모델링하면 층간 전단 응답을 심각하게 왜곡한다.
• 균열 콘크리트 — 균열면을 따라 전단전달이 골재 맞물림에 의존하게 되므로, 유효 전단강성은 등방 탄성값보다 크게 감소한다. EN 1992-1-1:2004가 균열 상태의 푸아송비를 0으로 규정한 것은 이 현실을 설계값 수준에서 인정한 조치이다.
• 압연·용접 이력 — 강재도 엄밀히는 압연 방향에 따른 약한 이방성을 갖지만, 그 정도가 1% 수준이어서 구조설계에서는 무시한다.

5.2 유한요소 해석에서 $\nu$가 일으키는 문제

푸아송비는 해석 결과에 두 경로로 개입한다. 첫째는 물성 자체이고, 둘째는 차원 축소 가정이다. 평면응력(plane stress)과 평면변형률(plane strain)은 동일한 방정식을 공유하되 상수 치환으로 연결된다.

$$\text{평면응력}\to \text{평면변형률}:E^{\prime }=\frac{E}{1-{\nu }^2},{\nu }^{\prime }=\frac{\nu }{1-\nu }$$

(22)

$\nu =0.3$인 강재에서 $E^{\prime }=1.099E$로 약 10% 강해진다. 벽식 구조나 지하 옹벽을 평면 요소로 모델링할 때 어느 가정을 택했는지에 따라 강성이 10% 달라지는데, 이는 앞서 본 기준 간 $E$ 차이(5%)보다 큰 값이다. 두께 방향 구속이 실제로 존재하는지를 판단하는 것은 해석자의 몫이다.

또한 $\nu \to 0.5$에서 발생하는 체적잠김(volumetric locking)과, 저차 요소에서 굽힘을 전단으로 잘못 흡수하는 전단잠김(shear locking)은 서로 다른 현상임에 유의해야 한다. 전자는 $K\to \mathrm{\infty }$라는 물성의 극한에서, 후자는 요소의 형상함수가 순수 굽힘을 표현하지 못하는 이산화의 한계에서 비롯된다. 감차적분(reduced integration)이 두 경우 모두에 처방되는 탓에 혼동되기 쉽다.

5.3 동적 전단탄성계수와 지반

지반공학에서는 전단파속도로부터 미소변형 전단탄성계수를 직접 산정한다.

$$G_{max}=\rho V_s^2$$

(23)

KDS 41 17 00 :2019의 지반분류가 상부 30 m 평균 전단파속도 $V_{s30}$에 근거하는 것도 결국 지반의 전단강성을 분류 지표로 삼은 것이다. 여기서 두 가지 주의가 필요하다. 첫째, $G_{max}$는 변형률 ${10}^{-6}$ 수준의 값이며 지진 시 유효 변형률에서는 $G/G_{max}$가 0.1~0.5까지 떨어진다. 둘째, 이렇게 얻은 동적 $G$로부터 식 (9)를 역으로 적용해 $E$를 산정할 때 사용하는 $\nu$는 배수 조건에 따라 크게 달라진다(비배수 포화토는 $\nu \to 0.5$). 지반–구조 상호작용 해석에서 스프링 강성을 잘못 잡는 흔한 원인이 여기에 있다.

5.4 시험법: $G$는 어떻게 측정되는가

$E$는 단축 인장시험으로 직접 측정되지만 $G$는 그렇지 않다. 표준적 방법은 중공 원형 시편의 비틀림 시험이며(ASTM E143), 토크 $T$와 비틀림각 $\varphi$로부터 $G=TL/(J\varphi )$로 산정한다. 등방성이 성립한다면 이렇게 얻은 $G$와 인장시험의 $E$, 그리고 스트레인게이지로 측정한 $\nu$가 식 (9)를 만족해야 하며, 세 값의 상호 검증은 재료의 등방성을 판정하는 실험적 기준이 된다. 한편 초음파 펄스 속도로 얻는 동적 탄성계수는 미소변형·고주파 조건의 값이므로 정적 시험값보다 크게 나오며(콘크리트에서 통상 10~20%), 이 둘을 혼용해서는 안 된다.

5.5 남아 있는 문제

고강도·초고성능 콘크리트에서 푸아송비가 일정하다는 가정은 검증이 충분하지 않다. 압축강도가 증가하면 골재–모르타르 계면의 미세균열 발생이 지연되어 파괴 직전까지 $\nu$가 낮게 유지되다가 급격히 증가하는 경향이 보고되어 있으나, 설계기준은 여전히 단일 상수를 쓴다. 또한 3D 프린팅 콘크리트와 적층 제조 금속은 적층 방향에 따른 구조적 이방성을 본질적으로 갖는데, 이를 다루는 설계기준 체계는 아직 정립되지 않았다. 음의 푸아송비 재료(auxetic material)는 Greaves 외(2011)의 종설 이후 충격흡수·방진 분야에서 활발히 연구되고 있으나, 건축구조 부재 수준의 적용 사례는 아직 실험 단계에 머물러 있다.

6. 결론

1. 등방 선형탄성체의 탄성상수 $E,\nu ,G,K,\lambda$ 중 독립적인 것은 두 개뿐이며, $G=E/[2(1+\nu )]$는 경험식이 아니라 등방성 가정에서 필연적으로 도출되는 항등식이다.
2. 이 관계식은 순수전단이 45° 회전좌표계에서 ${\sigma }_1=+\tau$, ${\sigma }_2=-\tau$의 2축 응력으로 보인다는 응력변환과, 대각선 신장률이 공학전단변형률의 절반이라는 기하학적 사실(${\epsilon }_{{45}^{\circ }}=\gamma /2$)을 결합하여 얻어진다.
3. KDS·AISC 360-22·EN 1993-1-1은 모두 $\nu =0.3$을 명시하지만 규정된 $G$로부터 역산한 내재 푸아송비는 0.2946~0.2975로, 세 기준 모두 $G$를 올림 처리한 결과이다. 수계산과 프로그램 결과 사이의 0.2~0.4% 계통 차이는 이 관행에서 비롯되며 오류가 아니다.
4. 콘크리트에서는 $G_c$의 관계식이 아니라 $E_c$의 정의가 기준마다 달라, $f_{ck}=30\mathrm{MPa}$에서 EN 값이 ACI 값보다 27.6% 크다. 사용성 한계상태는 $E_c$에 선형 비례하므로 국제 협업 프로젝트에서는 채택 정의를 명시해야 한다.
5. $G$의 오차는 검토 항목에 따라 전달률이 다르다. 처짐의 전단 성분에는 1:1로 전달되지만, 탄성 횡비틀림좌굴 모멘트에는 $\frac{1}{2}{\rho }_T$배(본 예제에서 0.22배)로 감쇠하여 전달된다. $G$의 정밀도는 처짐 검토에서만 실질적 의미를 갖는다.
6. 목재의 $E_0/G\simeq 16$을 식 (9)로 환산하면 $\nu \simeq 7$이라는 물리적으로 불가능한 값이 나온다. 직교이방성 재료에서 $G$는 유도되는 값이 아니라 독립적으로 측정되어야 하는 물성이며, 이 구분을 놓친 모델링은 조용히 틀린 결과를 낸다.

핵심 요약 (Key Takeaways)

• $G=E/[2(1+\nu )]$는 등방성의 정의적 귀결이지 실험식이 아니다.
• $(1+\nu )$의 정체는 45° 방향 인장과 직교방향 압축의 푸아송 효과가 더해진 결과이다.
• 전단강성은 $\nu$에 둔감하고($G/E$: 0.50→0.33), 체적강성은 극도로 민감하다($K/E\to \mathrm{\infty }$).
• 기준별 $E$ 차이는 강재 5%, 콘크리트 27.6%. 후자는 관행이 아니라 정의의 차이이다.
• $L/d\lesssim 8$이면 전단처짐을 반드시 산입할 것($L/d=6$에서 8.0%, $L/d=3$에서 31.9%).
• 목재·FRP·균열 콘크리트에서는 이 관계식을 적용하지 말 것.

기호 및 약어 (Notation)

기호	의미	단위
$A$, $A_s$, $A_w$	전단면적, 전단유효면적, 웨브면적	mm²
$b_f$, $t_f$, $t_w$, $d$	플랜지 폭·두께, 웨브 두께, 단면 춤	mm
$C_w$	뒴상수(warping constant)	mm⁶
$E$, $E_c$, $E_{cm}$	탄성계수, 콘크리트 탄성계수(KDS/ACI, EN)	MPa
$f_{ck}$, $f_{cm}$	콘크리트 설계기준강도, 평균압축강도	MPa
$G$, $G_{max}$	전단탄성계수, 미소변형 전단탄성계수	MPa
$I_x$, $I_y$, $J$	강축·약축 단면2차모멘트, 비틀림상수	mm⁴
$K$	체적탄성계수(bulk modulus)	MPa
$L$, $L_b$	경간, 비지지길이	mm
$M_{cr}$	탄성 횡비틀림좌굴 모멘트	N·mm
$V_s$, $V_{s30}$	전단파속도, 상부 30 m 평균 전단파속도	m/s
$\gamma$, ${\gamma }_{xy}$	공학 전단변형률	—
${\gamma }_F$, ${\gamma }_M$, ${\gamma }_{CE}$	작용·재료·강성에 대한 부분안전계수(EN)	—
${\delta }_b$, ${\delta }_s$	휨처짐, 전단처짐	mm
$\epsilon$, ${\epsilon }_{{45}^{\circ }}$	수직변형률, 45° 방향 수직변형률	—
$\kappa$	전단보정계수(shear correction factor)	—
$\lambda$, $\mu$	Lamé 상수 ($\mu =G$)	MPa
$\nu$, ${\nu }_{\text{imp}}$	푸아송비, 규정값에서 역산한 내재 푸아송비	—
$\rho$, ${\rho }_T$	밀도, $M_{cr}$에서 비틀림 항의 비중	kg/m³, —
${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$, $\tau$	주응력, 전단응력	MPa
$\varphi$	강도감소계수(KDS/ACI/AISC) 또는 비틀림각	—, rad

참고문헌

1. 국토교통부, KDS 14 31 05 :2017 강구조 설계 일반사항(하중저항계수설계법), 국가건설기준센터, 2017.
2. 국토교통부, KDS 14 20 10 :2022 콘크리트구조 해석과 설계 원칙, 국가건설기준센터, 2022.
3. 국토교통부, KDS 41 17 00 :2019 건축물 내진설계기준, 국가건설기준센터, 2019.
4. American Institute of Steel Construction, ANSI/AISC 360-22, Specification for Structural Steel Buildings, AISC, Chicago, 2022.
5. American Concrete Institute, ACI 318-19, Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary, ACI, Farmington Hills, 2019.
6. American Society of Civil Engineers, ASCE/SEI 41-17, Seismic Evaluation and Retrofit of Existing Buildings, ASCE, Reston, 2017.
7. CEN, EN 1992-1-1:2004, Eurocode 2: Design of Concrete Structures — Part 1-1: General Rules and Rules for Buildings, Brussels, 2004.
8. CEN, EN 1993-1-1:2005, Eurocode 3: Design of Steel Structures — Part 1-1: General Rules and Rules for Buildings, Brussels, 2005.
9. CEN, EN 338:2016, Structural Timber — Strength Classes, Brussels, 2016.
10. Timoshenko, S. P. and Goodier, J. N., Theory of Elasticity, 3rd ed., McGraw-Hill, New York, 1970.
11. Love, A. E. H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, 4th ed., Cambridge University Press, 1927.
12. Sokolnikoff, I. S., Mathematical Theory of Elasticity, 2nd ed., McGraw-Hill, New York, 1956.
13. Cowper, G. R., "The Shear Coefficient in Timoshenko's Beam Theory," Journal of Applied Mechanics, Vol. 33, No. 2, 1966, pp. 335–340.
14. Lakes, R. S., "Foam Structures with a Negative Poisson's Ratio," Science, Vol. 235, No. 4792, 1987, pp. 1038–1040.
15. Greaves, G. N., Greer, A. L., Lakes, R. S., and Rouxel, T., "Poisson's Ratio and Modern Materials," Nature Materials, Vol. 10, 2011, pp. 823–837.
16. ASTM International, ASTM E143, Standard Test Method for Shear Modulus at Room Temperature, West Conshohocken, 2020.
17. Bodig, J. and Jayne, B. A., Mechanics of Wood and Wood Composites, Van Nostrand Reinhold, New York, 1982.
18. Kramer, S. L., Geotechnical Earthquake Engineering, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1996.
19. fib, fib Model Code for Concrete Structures 2010, Ernst & Sohn, Berlin, 2013.