부정정 구조해석의 변위법(Displacement Method): 처짐각법·모멘트분배법에서 직접강성도법까지

부정정 구조해석의 변위법(Displacement Method): 처짐각법·모멘트분배법에서 직접강성도법까지

The Displacement (Stiffness) Method for Statically Indeterminate Structures: From Slope-Deflection and Moment Distribution to the Direct Stiffness Method

초록. 변위법(displacement method)은 절점변위(nodal displacement)를 미지량으로 두고 절점 평형조건(equilibrium)을 지배방정식으로 삼는 해석 정식화로, 오늘날 모든 상용 구조해석 소프트웨어의 기반이다. 본 고는 처짐각법(slope-deflection method)의 부재방정식을 절점 평형과 결합하여 강성도방정식 $[\mathbf{K}]\{\mathbf{d}\}=\{\mathbf{P}\}$으로 체계화하고, 모멘트분배법(moment distribution)을 이 연립방정식의 Gauss–Seidel 반복해로 재해석하며, 직접강성도법(direct stiffness method)의 요소강성행렬로 일반화하는 경로를 제시한다. 고정단–내부지점–자유단 2경간 연속보를 처짐각법으로 완전히 풀어 절점회전과 부재단모멘트를 산출하고, 극한 강성 사례와 대조하여 결과의 물리적 타당성을 검증한다. 변위법과 응력법(force method)의 쌍대(dual) 구조를 정식화 수준에서 대비한다.

주제어: 변위법(displacement method), 강성도법(stiffness method), 처짐각법(slope-deflection), 모멘트분배법(moment distribution), 직접강성도법(direct stiffness method), 요소강성행렬(element stiffness matrix), 운동학적 부정정(kinematic indeterminacy)

목차

1. 서론
2. 이론적 배경: 처짐각법에서 강성도방정식으로
3. 해석 정식화 비교: 처짐각법·모멘트분배법·직접강성도법
4. 해석 예제: 2경간 연속보의 처짐각법 해석
5. 고찰: 자유도 선택·강성 입력·응력법과의 쌍대성
6. 결론
7. 기호 및 약어
8. 참고문헌

1. 서론

부정정 구조해석에서 변위법(displacement method)은 절점변위를 일차 미지량으로 채택하고, 각 자유도(degree of freedom)에 대한 평형조건을 지배방정식으로 세운다. 이는 여력을 미지량으로 두고 적합조건을 세우는 응력법(force method)의 쌍대(dual)이다. 변위법의 역사적 전개는 Maney의 처짐각법(slope-deflection, 1915), Hardy Cross의 모멘트분배법(moment distribution, 1930), 그리고 전산 시대의 직접강성도법(direct stiffness method)으로 이어지며, 이 셋은 서로 다른 도구가 아니라 하나의 정식화가 손계산·반복해·행렬해로 각각 구현된 것이다.

본 고는 변위법의 정식화 자체에 한정한다. 처짐각법 부재방정식의 유도, 절점 평형과의 결합을 통한 강성도방정식의 조립, 모멘트분배법의 반복해적 성격, 그리고 직접강성도법의 요소강성행렬로의 일반화를 다룬다. 응력법의 유연도 기반 정식화는 별도 논고에서 상세히 다루며, 본 고에서는 두 방법의 쌍대 구조를 대비하는 수준에서만 언급한다. 또한 균열단면 유효강성·2차해석용 강성 등 설계기준이 규정하는 해석 입력값의 정량적 비교는 본 고의 범위를 벗어나며, 고찰에서 개념적으로만 짚는다.

변위법을 정밀히 이해해야 하는 실무적 이유는 명확하다. 모든 상용 프로그램이 직접강성도법을 채택하므로, 입력된 강성(단면·재료·유효강성 계수)이 결과를 지배한다. 해석자가 강성도방정식의 구조를 이해하지 못하면 프로그램 출력의 물리적 타당성을 검증할 수 없다. 처짐각법과 모멘트분배법은 이 강성 기반 사고를 손계산으로 체득하는 가장 직접적인 경로이며, 소규모 계에 대한 독립 검산 수단으로서 여전히 유효하다.

2. 이론적 배경: 처짐각법에서 강성도방정식으로

2.1 운동학적 부정정 차수와 자유도

변위법의 미지량 수는 정적 부정정 차수가 아니라 운동학적 부정정 차수(degree of kinematic indeterminacy), 즉 독립 절점변위 자유도의 수 $n_k$로 결정된다. 축변형을 무시하는 골조의 절점회전만 고려하는 관례에서, $n_k$는 회전 가능한 절점 수에 측방향 병진(sidesway) 자유도를 더한 값이다. 이는 응력법의 미지량 수 $n$(정적 부정정 차수)과 일반적으로 다르며, 어느 방법이 손계산에 유리한지는 $n$과 $n_k$의 대소가 결정한다.

그림 1. 2경간 연속보의 자유도. A는 고정(θ_A=0), 내부지점 B와 단부지점 C에서 회전 자유도 θ_B, θ_C가 미지량. 축변형·병진 무시 시 $n_k=2$.

2.2 처짐각법 부재방정식

등단면 부재의 양단 모멘트를 절점회전 ${\theta }_n,{\theta }_f$와 현회전 $\psi =\mathrm{\Delta }/L$의 함수로 표현한 것이 처짐각법 부재방정식이다. 부재 양단에 대한 강성해에서 유도되며, 여기에 양단 고정 시의 고정단모멘트(fixed-end moment, FEM)를 중첩한다. 근단(near end) $n$, 원단(far end) $f$에 대하여 식 (1)로 쓴다.

(1) $$M_{nf}=\frac{2EI}{L}(2{\theta }_n+{\theta }_f-3\psi )+M_{nf}^F$$

부호는 부재단에 작용하는 모멘트가 반시계방향일 때 양으로 잡는다(처짐각법 관례). 식 (1)의 계수 $2EI/L$는 원단이 고정된 부재의 근단 단위회전에 대한 모멘트, 즉 회전강성의 절반에 해당하는 항이며, 원단 회전 ${\theta }_f$에 대한 계수가 근단의 절반($1$배 대 $2$배)이라는 사실이 뒤에서 논할 이월계수(carry-over factor) $1/2$의 근원이다.

등분포하중 $w$를 받는 양단고정보의 고정단모멘트는 식 (2)이다. 이는 응력법 또는 단위하중정리로 유도되는 표준 결과로, 처짐각법의 하중 항을 공급한다.

(2) $$M_{nf}^F=-\frac{w{L}^2}{12}(\text{좌단}),M_{fn}^F=+\frac{w{L}^2}{12}(\text{우단})$$

2.3 절점 평형과 강성도방정식

각 자유도에서의 지배방정식은 그 절점에 모이는 부재단모멘트의 합이 외부 절점모멘트와 평형을 이루어야 한다는 조건이다. 절점 $B$에서는 식 (3)이 성립한다.

(3) $$\sum _{\text{@}B}M=M_{BA}+M_{BC}=0$$

식 (1)을 각 부재단모멘트에 대입하면, 미지 회전 $\{\theta \}$에 관한 선형연립방정식이 된다. 이를 행렬로 정리하면 식 (4)의 강성도방정식(stiffness equation)을 얻는다.

(4) $$[\mathbf{K}]\{\mathbf{d}\}=\{\mathbf{P}\}-\{{\mathbf{P}}^F\}$$

여기서 $[\mathbf{K}]$는 강성도행렬(stiffness matrix), $\{\mathbf{d}\}$는 절점변위 벡터, $\{\mathbf{P}\}$는 외부 절점하중, $\{{\mathbf{P}}^F\}$는 고정단모멘트를 절점하중으로 이항한 등가절점하중(equivalent nodal load)이다. $[\mathbf{K}]$는 부재 강성의 조립으로 구성되며, 응력법의 유연도행렬과 마찬가지로 대칭·양정치이다. 이는 Betti의 상반정리와 변형에너지의 양성에서 비롯된다.

2.4 직접강성도법으로의 일반화: 요소강성행렬

처짐각법은 절점회전만을 자유도로 다루지만, 병진 자유도를 포함해 이를 완전 일반화하면 직접강성도법이 된다. 2절점 보요소의 국소 자유도 $\{v_1,{\theta }_1,v_2,{\theta }_2\}$에 대한 요소강성행렬은 Euler–Bernoulli 보의 형상함수(Hermite cubic)로부터 식 (5)로 유도된다.

(5) $$[\mathbf{k}]=\frac{EI}{L^3}\left[\begin{array}{cccc}12& 6L& -12& 6L\\ 6L& 4L^2& -6L& 2L^2\\ -12& -6L& 12& -6L\\ 6L& 2L^2& -6L& 4L^2\end{array}\right]$$

이 행렬의 회전–회전 부분성분($4EI/L$와 $2EI/L$)이 처짐각법 부재방정식의 계수와 정확히 일치함에 주목한다(그림 2). 즉 처짐각법은 병진 자유도를 정적으로 응축(static condensation)한 직접강성도법의 특수형이다. 전체 강성도행렬은 각 요소행렬을 자유도 대응에 따라 조립(assembly)하여 구성하며, 경계조건(구속 자유도 제거) 후 식 (4)를 풀면 절점변위가, 이어 요소단력이 후처리로 산출된다. 이 절차가 임의 기하에 대해 완전히 자동화 가능하다는 점이 변위법이 상용 표준이 된 결정적 이유이다.

그림 2. Euler–Bernoulli 보요소의 4자유도 $\{v_1,{\theta }_1,v_2,{\theta }_2\}$. 회전–회전 성분 $4EI/L$, $2EI/L$이 처짐각법 계수와 일치하며, 이월계수 $1/2$의 근원이 된다.

3. 해석 정식화 비교: 처짐각법·모멘트분배법·직접강성도법

세 기법은 동일한 강성도방정식 (4)를 서로 다른 방식으로 해석한다. 처짐각법은 연립방정식을 직접 소거로 풀고, 모멘트분배법은 이를 반복해(iterative relaxation)로 풀며, 직접강성도법은 요소행렬 조립 후 행렬해로 푼다. 표 1은 이를 순수 해석 관점에서 대비한다.

표 1. 변위법 세 기법의 정식화 비교(코드 무관, 순수 해석 관점)

항목	처짐각법(slope-deflection)	모멘트분배법(moment distribution)	직접강성도법(direct stiffness)
미지량	절점회전·병진 $\{\mathbf{d}\}$	명시적 미지 없음(모멘트 직접 반복)	전 절점 자유도 $\{\mathbf{d}\}$
지배원리	절점 평형 → 연립방정식	절점 평형의 순차적 완화	절점 평형 → 행렬방정식
해법	직접 소거(Gauss 소거)	반복해(Gauss–Seidel과 동치)	행렬 분해(LU/Cholesky)
핵심 상수	부재계수 $2EI/L$	분배율 $\mathrm{DF}$, 이월계수 $1/2$	요소강성행렬 $[\mathbf{k}]$
수렴/정확	정해(닫힌 소거)	반복 회수에 따라 정해로 수렴	정해(행렬해)
병진(sidesway)	추가 평형식으로 처리	별도 보정 사이클 필요	자유도로 자동 포함
적용 규모	소~중규모 손계산	소규모 손계산·검산	임의 규모, 전산 표준
자동화	부분적	곤란	완전 자동화

세 기법의 등가성은 계수 상호관계에서 드러난다. 모멘트분배법의 분배율은 식 (6), 이월계수는 식 (7)로 정의되며, 이는 각각 강성도방정식의 대각·비대각 성분비와 식 (1)의 원단/근단 계수비($2EI/L$ 대 $4EI/L$)에서 직접 유도된다.

(6) $${\mathrm{DF}}_i=\frac{k_i}{\sum _j{k}_j},k_i=\frac{4E{I}_i}{L_i}(\text{원단 고정})$$

(7) $$\text{이월계수(carry-over)}=\frac{2EI/L}{4EI/L}=\frac{1}{2}$$

즉 모멘트분배법은 강성도방정식을 절점별로 순차적으로 평형화하는 Gauss–Seidel 반복이며, 처짐각법은 같은 방정식의 직접해, 직접강성도법은 그 완전 행렬 일반화이다. 응력법과의 쌍대성 관점에서, 변위법의 강성도행렬 $[\mathbf{K}]$는 동일 자유도 집합에 대해 응력법 유연도행렬의 역 $[\mathbf{K}]=[\mathbf{F}{]}^{-1}$ 관계를 이룬다. 미지량이 절점변위(운동학적 부정정 $n_k$)라는 점, 지배방정식이 평형이라는 점에서 변위법은 여력(정적 부정정 $n$)과 적합조건을 다루는 응력법의 정확한 대칭이다.

4. 해석 예제: 2경간 연속보의 처짐각법 해석

그림 1의 2경간 연속보를 처짐각법으로 완전히 푼다. 좌단 A는 고정, 내부지점 B와 단부 C는 단순지지이며, 등분포하중 $w$는 경간 AB에만 작용한다. 제원은 $L=6\mathrm{m}$(양 경간 동일), $w=20\mathrm{kN}/\mathrm{m}$, $EI$ 일정이다. 미지 자유도는 ${\theta }_B,{\theta }_C$이며 ${\theta }_A=0$(고정), 병진은 없다($\psi =0$).

4.1 고정단모멘트와 부재방정식

경간 AB는 등분포하중을 받으므로 식 (2)에서 $M_{AB}^F=-w{L}^2/12$, $M_{BA}^F=+w{L}^2/12$. 경간 BC는 무재하이므로 $M^F=0$. 식 (1)에 대입하면 네 부재단모멘트는 식 (8)로 전개된다(공통계수 $2EI/L$).

(8) $$\begin{array}{rlrl}{M}_{AB}& =\frac{2EI}{L}{\theta }_B-\frac{w{L}^2}{12},& M_{BA}& =\frac{2EI}{L}(2{\theta }_B)+\frac{w{L}^2}{12},\\ M_{BC}& =\frac{2EI}{L}(2{\theta }_B+{\theta }_C),& M_{CB}& =\frac{2EI}{L}(2{\theta }_C+{\theta }_B).\end{array}$$

4.2 평형·경계조건과 회전 산정

단부 C는 모멘트가 영인 단순지지이므로 $M_{CB}=0$, 내부지점 B에서는 식 (3)의 절점 평형 $M_{BA}+M_{BC}=0$이 성립한다. $M_{CB}=0$에서 식 (9)를 얻는다.

(9) $$2{\theta }_C+{\theta }_B=0\Rightarrow {\theta }_C=-\frac{1}{2}{\theta }_B$$

B의 평형식에 식 (8)을 대입하고 식 (9)를 반영하면 식 (10)이 된다.

(10) $$\frac{2EI}{L}[4{\theta }_B+(2{\theta }_B+{\theta }_C)]+\frac{w{L}^2}{12}=0\Rightarrow \frac{2EI}{L}\cdot \frac{7}{2}{\theta }_B=-\frac{w{L}^2}{12}$$

따라서 미지 회전은 식 (11)로 결정된다.

(11) $${\theta }_B=-\frac{w{L}^3}{84EI}=-\frac{20\cdot 6^3}{84EI}=-\frac{51.43}{EI}\mathrm{rad},{\theta }_C=+\frac{w{L}^3}{168EI}=+\frac{25.71}{EI}\mathrm{rad}$$

4.3 부재단모멘트 산정

식 (11)을 식 (8)에 역대입한다. $w{L}^2=20\cdot 36=720\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$임을 이용하면 식 (12)~(14)를 얻는다.

(12) $$M_{AB}=\frac{2EI}{L}{\theta }_B-\frac{w{L}^2}{12}=-\frac{2w{L}^2}{84}-\frac{w{L}^2}{12}=-\frac{3w{L}^2}{28}=-77.1\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$$

(13) $$M_{BA}=\frac{4EI}{L}{\theta }_B+\frac{w{L}^2}{12}=-\frac{4w{L}^2}{84}+\frac{w{L}^2}{12}=+\frac{w{L}^2}{28}=+25.7\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$$

(14) $$M_{BC}=-\frac{w{L}^2}{28}=-25.7\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m},M_{CB}=0$$

식 (13)과 (14)의 합이 영이 되어 B의 절점 평형이 만족됨을 확인한다. 이제 각 경간을 자유물체로 취급해 반력을 구한다. 경간 AB(등분포+단모멘트)의 지점 전단은 식 (15)이다.

(15) $$V_{B,AB}=\frac{w{L}^2/2-M_{AB}-M_{BA}}{L}=\frac{360+77.1-25.7}{6}=68.6\mathrm{kN}$$

이로부터 $V_A=wL-68.6=51.4\mathrm{kN}$. 경간 BC(무재하, 단모멘트 $M_{BC}$)의 전단은 $V_C=-M_{BC}/L=25.7/6=4.3\mathrm{kN}$, B측 기여는 $-4.3\mathrm{kN}$이다. 지점 B의 총반력은 $68.6-4.3=64.3\mathrm{kN}$이다.

그림 3. 2경간 연속보의 최종 휨모멘트도와 반력(kN). 고정단 부모멘트 $M_{AB}=-3w{L}^2/28=-77.1\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$, 내부지점 모멘트 $M_B=-w{L}^2/28=-25.7\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$.

해석 결과 요약

절점회전 ${\theta }_B=-51.4/EI\mathrm{rad}$, ${\theta }_C=+25.7/EI\mathrm{rad}$. 부재단모멘트 $M_{AB}=-77.1$, $M_{BA}=+25.7$, $M_{BC}=-25.7$, $M_{CB}=0\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$. 지점반력 $R_A=51.4$, $R_B=64.3$, $R_C=4.3\mathrm{kN}$ (합 $120.0\mathrm{kN}=wL$, 검증 완료), 고정단모멘트 $77.1\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$. 반올림은 최종 단계에서 소수 첫째 자리로 한다.

4.4 모멘트분배법에 의한 교차 검증

동일 계를 모멘트분배법으로 풀면 처짐각법과의 등가성이 수치로 확인된다. 단부 C가 핀지지이므로 부재 BC에는 원단 핀 수정강성(modified stiffness) $k_{BC}=3EI/L$을 적용하고 C로의 이월은 없다. 부재 BA는 원단 A가 고정이므로 $k_{BA}=4EI/L$이다. 절점 B의 분배율은 식 (6)에서 ${\mathrm{DF}}_{BA}=4/7=0.571$, ${\mathrm{DF}}_{BC}=3/7=0.429$이다. 고정단모멘트는 $M_{BA}^F=+w{L}^2/12=+60\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$, 그 외는 0이다. B의 불평형모멘트 $+60$을 한 번 분배하고 A로 이월하면 표 2와 같이 단일 사이클에서 평형에 도달한다.

표 2. 모멘트분배법 계산표 (단위: kN·m)

절점 / 부재단	A단 (M_AB)	B단 (M_BA)	B단 (M_BC)	C단 (M_CB)
분배율 DF	(고정)	0.571	0.429	(핀, 0)
고정단모멘트 FEM	−60.0	+60.0	0	0
B 분배 (−60)	—	−34.3	−25.7	—
이월 (½·B→A)	−17.1	—	—	0
최종 합	−77.1	+25.7	−25.7	0

표 2의 최종 부재단모멘트는 처짐각법의 식 (12)~(14)와 완전히 일치한다. 원단 핀 수정강성을 사용하면 단일 사이클에서 정해에 도달하는데, 이는 미지 자유도가 ${\theta }_B$ 하나로 응축되었기 때문이다. 즉 표 2의 한 줄 분배는 식 (10)의 직접해와 대수적으로 동치이며, 모멘트분배법이 강성도방정식의 순차적 완화라는 표 1의 진술을 구체적으로 예시한다.

4.5 극한 강성 대조에 의한 검증

결과의 타당성은 경간 BC의 회전강성이 만드는 부분구속 효과를 극한값과 대조하여 확인한다. 만약 BC가 무한강성이어서 B가 완전 고정된다면 경간 AB는 양단고정보가 되어 $M_{AB}=w{L}^2/12=60.0\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$, 반대로 BC가 없어 B가 자유회전 단순지지라면 AB는 받침보(고정–핀)가 되어 $M_{AB}=w{L}^2/8=90.0\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$이다. 본 해의 $M_{AB}=3w{L}^2/28=77.1\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$은 두 극한값 사이에 위치하며, 이는 BC가 B에 부분적 회전구속을 제공한다는 물리와 정확히 부합한다. 이 대조는 처짐각법 해가 강성 기반으로 옳게 배분되었음을 독립적으로 검증한다.

5. 고찰: 자유도 선택·강성 입력·응력법과의 쌍대성

5.1 미지량 수의 비교: 언제 변위법이 짧은가

본 예제의 운동학적 부정정 차수는 $n_k=2$(θ_B, θ_C)인 반면, 정적 부정정 차수는 $n=1$이다. 이 계만 보면 응력법이 미지량이 더 적다. 그러나 다경간·다층 골조로 규모가 커지면 부정정 차수 $n$이 자유도 $n_k$보다 훨씬 빠르게 증가하는 경우가 많아, 손계산에서도 변위법이 유리해지는 지점이 온다. 더 근본적으로, 변위법은 자유도가 기하로 유일하게 결정되어 방출구조 선택 같은 임의성이 없으므로 알고리즘화가 가능하다. 이 자동화 가능성이 규모와 무관하게 변위법을 전산 표준으로 만든 요인이다.

5.2 강성 입력이 결과를 지배한다

변위법의 결과는 전적으로 입력 강성의 상대비에 의존한다. 본 예제에서 두 경간의 $EI$가 같아 절대값이 소거되었지만, 강성비가 달라지면 모멘트 배분이 즉시 달라진다. 실무에서 이는 결정적 함의를 갖는다. 균열·크리프로 인한 유효강성, 2차(P–Δ)해석용 감소강성, 합성단면의 유효폭 등 해석에 입력하는 강성이 부정정 모멘트 분포를 좌우하므로, 강성 가정의 타당성이 해석 정밀도의 상한을 규정한다. 이러한 유효강성 계수의 구체적 규정(KDS·ACI·EN)은 설계기준과 직접 맞닿는 주제로, 본 고의 순수 해석 범위를 벗어나 별도 논고에서 다룬다.

5.3 응력법과의 쌍대성과 상호 검산

변위법과 응력법은 $[\mathbf{K}]=[\mathbf{F}{]}^{-1}$의 역관계로 맺어진 쌍대 정식화이므로, 동일 문제를 두 방법으로 풀면 강력한 상호 검산이 된다. 본 예제의 경간 AB를 응력법으로 독립 검토하면, 고정단모멘트를 여력으로 두고 BC의 회전강성을 스프링으로 모형화하여 동일한 $M_{AB}=77.1\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$를 얻는다. 두 방법의 일치는 대칭·양정치 계수행렬이라는 공통 구조가 보장하며, 상용 프로그램 출력의 신뢰성 검증에도 이 쌍대성이 활용된다.

6. 결론

1. 변위법은 절점변위(운동학적 부정정 $n_k$)를 미지량으로, 절점 평형 $[\mathbf{K}]\{\mathbf{d}\}=\{\mathbf{P}\}-\{{\mathbf{P}}^F\}$을 지배방정식으로 삼는 정식화로, 여력과 적합조건을 다루는 응력법의 쌍대이며 $[\mathbf{K}]=[\mathbf{F}{]}^{-1}$의 역관계를 이룬다.
2. 처짐각법·모멘트분배법·직접강성도법은 동일한 강성도방정식의 직접해·반복해(Gauss–Seidel)·행렬 일반화이며, 부재계수 $2EI/L$, 분배율, 이월계수 $1/2$는 모두 요소강성행렬의 성분에서 유도된다.
3. 2경간 연속보 예제에서 ${\theta }_B=-51.4/EI$, $M_{AB}=-3w{L}^2/28=-77.1\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$, 지점반력 합 $120.0\mathrm{kN}=wL$로 평형이 검증되었다.
4. 본 해 $M_{AB}=77.1\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$은 양단고정($w{L}^2/12=60.0$)과 받침보($w{L}^2/8=90.0$) 극한 사이에 위치하여, 경간 BC의 부분 회전구속이라는 물리와 정합함을 독립 검증하였다.
5. 변위법의 결과는 입력 강성의 상대비가 지배하므로, 유효강성 가정의 타당성이 해석 정밀도의 상한을 규정하며, 자유도가 기하로 유일하게 결정되는 자동화 가능성이 변위법을 전산 표준으로 만든 근본 이유이다.

핵심 요약 (Key Takeaways)

변위법의 미지량은 절점변위(자유도 $n_k$)이고 지배방정식은 절점 평형이다. 처짐각법·모멘트분배법·직접강성도법은 하나의 강성도방정식의 세 구현이며, 이월계수 $1/2$와 분배율은 요소강성행렬에서 나온다. 결과는 입력 강성비가 지배하고, 자유도의 유일성(방출 선택 불필요)이 완전 자동화를 가능케 해 상용 표준이 되었다. 응력법과는 $[\mathbf{K}]=[\mathbf{F}{]}^{-1}$의 쌍대로, 상호 검산에 유용하다.

기호 및 약어

기호	의미	단위
$n_k$	운동학적 부정정 차수(자유도 수)	—
${\theta }_n,{\theta }_f$	근단·원단 절점회전	rad
$\psi =\mathrm{\Delta }/L$	부재 현회전(chord rotation)	rad
$M_{nf}$	부재단모멘트(반시계 +)	kN·m
$M_{nf}^F$	고정단모멘트(fixed-end moment)	kN·m
$[\mathbf{K}]$	강성도행렬(stiffness matrix)	—
$[\mathbf{k}]$	보요소 강성행렬	—
$\{\mathbf{d}\}$	절점변위 벡터	m, rad
$\{{\mathbf{P}}^F\}$	등가절점하중	kN, kN·m
${\mathrm{DF}}_i,k_i$	분배율, 부재 회전강성	—, kN·m/rad
$EI$	휨강성	kN·m²
$w,L$	등분포하중, 경간	kN/m, m
$R_A,R_B,R_C$	지점반력	kN

참고문헌

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8. Bathe, K. J. (2014). Finite Element Procedures, 2nd ed. Prentice Hall.
9. Ghali, A., Neville, A. M., & Brown, T. G. (2017). Structural Analysis: A Unified Classical and Matrix Approach, 7th ed. CRC Press.