모달 응답스펙트럼해석(RSA): 고유치 분해·모드 참여계수·SRSS/CQC 조합 완전 해설

응답스펙트럼해석(Response Spectrum Analysis, RSA)은 지진하중을 결정론적으로 처리하면서도 비선형 시간이력해석보다 월등히 낮은 계산 비용으로 내진 설계를 수행할 수 있는 표준 방법이다. 이 포스트는 고유치 문제(eigenvalue problem) 정식화, 모드 직교성(modal orthogonality), 모드 참여계수(modal participation factor), KDS 41 17 00 설계응답스펙트럼 적용, 그리고 SRSS·CQC 모드 조합까지 이론적 흐름을 단절 없이 전개한다. 3층 전단 프레임 수치예제를 통해 90% 유효 모드 질량 요건 충족 여부와 모드별 층전단력·층간변위를 직접 산정하고 SRSS와 CQC의 차이를 정량 비교한다.

1. Notation

기호	설명	단위
n	자유도 수 (층수)	—
[K]	전체 강성행렬	kN/m
[M]	전체 질량행렬	kN·s²/m
{φi}	제 i번째 모드 형상 벡터 (정규화)	—
ωi	제 i번째 고유원진동수	rad/s
Ti	제 i번째 고유주기 = 2π/ωi	s
Mi*	제 i번째 모드 일반질량(generalized mass)	kN·s²/m
Li	모드 지진 여기 계수	kN·s²/m
Γi	모드 참여계수 = Li/Mi*	—
M̃i	유효 모드 질량 = Li²/Mi*	kN·s²/m
Sa(T)	스펙트럼 가속도	m/s²
Sd(T)	스펙트럼 변위 = Sa/ω²	m
SDs	단주기 설계스펙트럼 가속도	g
SD1	주기 1.0 s 설계스펙트럼 가속도	g
ρij	CQC 교차상관계수	—
βij	진동수 비 = ωi/ωj	—
ξ	감쇠비	—

2. 고유치 문제의 정식화

2-1. 다자유도계 자유진동 방정식

비감쇠 다자유도계의 자유진동 방정식은 다음과 같다.

[M]{ü} + [K]{u} = {0}

조화 응답 {u}={φ}e^iωt를 대입하면 표준 고유치 문제가 얻어진다.

([K] − ω²[M]){φ} = {0}

비자명해(non-trivial solution)가 존재하려면 특성행렬식(characteristic determinant)이 0이어야 한다.

det([K] − ω²[M]) = 0

이 방정식은 n차 다항식으로, n개의 고유값 ω₁² ≤ ω₂² ≤ ··· ≤ ω_n²과 대응 고유벡터(모드 형상)를 산출한다. 실무에서는 Lanczos 반복법이나 Jacobi법으로 수치 계산한다.

2-2. 모드 직교성 (Modal Orthogonality)

서로 다른 모드 i와 j (i ≠ j) 사이에는 질량행렬과 강성행렬에 대한 직교성이 성립한다.

{φ_j}ᵀ [M] {φ_i} = 0,  {φ_j}ᵀ [K] {φ_i} = 0  (i ≠ j)

같은 모드(i = j)에 대해서는 일반 질량(generalized mass)과 일반 강성(generalized stiffness)이 정의된다.

M_i^* = {φ_i}ᵀ [M] {φ_i},  K_i^* = {φ_i}ᵀ [K] {φ_i} = ω_i² M_i^*

이 직교성이 연립 운동방정식을 모드별 독립 1자유도계로 분리하는 수학적 기반이다. 모드 중첩법(mode superposition)이 가능한 이유가 바로 여기에 있다.

2-3. 모드 참여계수와 유효 모드 질량

수평 지진하중은 단위 지반 가속도 입력에 해당하는 가진 벡터 [M]{ι}로 표현된다. {ι}={1,1,…,1}ᵀ는 단위 인플루언스 벡터이다. 제 i번째 모드 지진 여기 계수는 다음과 같다.

L_i = {φ_i}ᵀ [M] {ι} = Σ_j=1ⁿ m_j φ_ji

모드 참여계수(Modal Participation Factor)는 다음으로 정의된다.

Γ_i = L_iM_i^* = Σ_j m_j φ_ji Σ_j m_j φ_ji²

모드 참여계수는 정규화(normalization) 방식에 따라 수치가 달라지지만, 유효 모드 질량(Effective Modal Mass) M̃_i는 정규화와 무관한 불변량이다.

M̃_i = L_i²M_i^* = Γ_i² M_i^*

KDS 41 17 00 §5.3.2는 포함된 모드들의 유효 모드 질량 합이 전체 구조물 질량의 90% 이상이 되어야 함을 규정한다.

Σ_i=1^k M̃_i M_total ≥ 0.90

3. 응답스펙트럼 적용 — 모드별 최대 응답

3-1. 모드 좌표로의 변환

전체 변위를 {u} = [Φ]{q}로 모드 분리하면, 제 i번째 모드 좌표 q_i는 감쇠비 ξ_i를 가진 1자유도계 방정식을 만족한다.

q̈_i + 2ξ_iω_iq̇_i + ω_i²q_i = −Γ_i ü_g(t)

응답스펙트럼을 사용하면 모드 좌표 최대값은 스펙트럼 변위 S_d(T_i, ξ_i)로 대체된다.

|q_i|_max = Γ_i · S_d(T_i) = Γ_i · S_a(T_i)ω_i²

제 j층 제 i모드 최대 변위와 층 지진력(관성력)은 각각 다음과 같다.

|u_ji|_max = |φ_ji| · Γ_i · S_d(T_i)   F_ji = m_j · φ_ji · Γ_i · S_a(T_i)

모드 i의 밑면 전단력은 유효 모드 질량과 스펙트럼 가속도의 곱임을 확인할 수 있다.

V_i = Σ_j F_ji = Γ_i · L_i · S_a(T_i) = M̃_i · S_a(T_i)

3-2. 모드 조합 — SRSS와 CQC

각 모드의 최대 응답은 동시에 발생하지 않으므로 확률론적 조합 규칙이 필요하다.

SRSS (Square Root of Sum of Squares): 모드 주기 비율이 T_i/T_j ≤ 0.9인 경우 (모드 충분히 분리) 적용한다.

r_SRSS = √(Σ_i=1^k r_i²)

CQC (Complete Quadratic Combination): 모드 간격이 좁거나 비대칭 건물의 결합 비틀림 모드에 적용하며, SRSS보다 항상 크거나 같은 결과를 준다.

r_CQC = √(Σ_i Σ_j ρ_ij r_i r_j)

교차상관계수 ρ_ij는 Wilson et al.(1981)의 식으로 계산한다 (ρ_ii = 1).

ρ_ij = 8ξ²(1 + β_ij) β_ij^3/2 (1 − β_ij²)² + 4ξ² β_ij(1 + β_ij)² ,  β_ij = ω_iω_j

β_ij → 0 (모드 완전 분리)이면 ρ_ij → 0이 되어 CQC ≡ SRSS로 수렴한다. 반대로 β_ij → 1 (주기 근접)이면 ρ_ij → 1이 되어 SRSS는 과소 평가한다.

4. KDS 41 17 00 설계응답스펙트럼

4-1. 스펙트럼 구성 (§5.2)

구간	주기 범위	Sa
상승부	0 ≤ T < T0 = 0.2Ts	SDs(0.4 + 0.6T/T0)
단주기 정지부	T0 ≤ T ≤ Ts	SDs
장주기 하강부	T > Ts = SD1/SDs	SD1/T

스펙트럼 변위와 가속도의 관계: S_d(T) = S_a(T) · (T/2π)²

Figure 1. KDS 41 17 00 탄성 설계응답스펙트럼 (직접 작도). S_Ds=0.70g, S_D1=0.42g. 녹색·적색·주황 점선은 수치예제의 T₁, T₂, T₃ 위치를 나타낸다.

5. 수치예제 — 3층 전단 프레임 RSA

5-1. 구조계 제원

항목	값
층수 / 층고	3층 / 각 4.0 m (총 12.0 m)
층별 질량 m	300 kN·s²/m (≈ 300 t)
층별 전단강성 k	60,000 kN/m (전 층 동일)
감쇠비 ξ	0.05 (5 %)
설계스펙트럼	지진구역 I (서울), 지반 D: SDs=0.70g, SD1=0.42g

층 1=하부, 층 3=상부. 전단 프레임 강성행렬 및 질량행렬:

[K] = k 2  −1  0
−1  2  −1
0  −1  1,   [M] = m 1  0  0
0  1  0
0  0  1

5-2. Step 1 — 고유치 해석

λ = ω²m/k로 치환하면 특성방정식은 다음과 같다.

λ³ − 5λ² + 6λ − 1 = 0

수치해: λ₁=0.198, λ₂=1.555, λ₃=3.247.  k/m=60,000/300=200 s⁻²

모드	λi	ωi (rad/s)	Ti (s)	{φi} (|φ|max=1 정규화)
1	0.198	6.29	1.000	{0.445, 0.802, 1.000}ᵀ
2	1.555	17.63	0.356	{1.000, 0.445, −0.802}ᵀ
3	3.247	25.48	0.247	{0.802, −1.000, 0.445}ᵀ

Figure 2. 3층 전단 프레임 3개 고유모드 형상 (직접 작도, |φ|_max=1 정규화). 1차 모드(청색): 모든 층 동일 방향; 2차(적색): 1회 부호 변환; 3차(녹색): 2회 부호 변환. 하단의 M_i/M은 각 모드의 유효 모드 질량비이다.

5-3. Step 2 — 모드 참여계수 및 유효 모드 질량

등질량 분포(m_j=m)이므로, 모든 모드에서 일반 질량은 동일하다 (정규화 특성).

M_i^* = m(0.445² + 0.802² + 1.000²) = m(0.198 + 0.643 + 1.000) = 1.841m

모드	Li/m	Γi=Li/Mi*	M̃i/m	누적 질량비 (%)
1	2.247	1.221	2.742	91.4%
2	0.643	0.349	0.225	98.9%
3	0.247	0.134	0.033	100.0%

KDS 41 17 00 §5.3.2 판정: 모드 1만으로 유효 모드 질량 91.4% ≥ 90% ✓ — 단, 본 예제는 3개 모드 전부 포함하여 조합한다.

5-4. Step 3 — 스펙트럼 가속도 및 스펙트럼 변위 산정

T_s=S_D1/S_Ds=0.42/0.70=0.60 s,  T₀=0.2×0.60=0.12 s

모드	Ti (s)	구간	Sa (m/s²)	ωi² (s⁻²)	Sd (mm)
1	1.000	T>Ts	0.42×9.81=4.120	39.57	104.1
2	0.356	T0≤T≤Ts	0.70×9.81=6.867	310.8	22.1
3	0.247	T0≤T≤Ts	0.70×9.81=6.867	649.2	10.6

5-5. Step 4 — 모드별 층 지진력 및 밑면 전단력

층 지진력 환산: 모드 i에서 1.0 φ단위당 F = m·Γ_i·S_a(T_i)

모드 1: 300×1.221×4.120=1,508 kN/φ  모드 2: 300×0.349×6.867=719 kN/φ  모드 3: 300×0.134×6.867=276 kN/φ

층	Fj1 (kN)	Fj2 (kN)	Fj3 (kN)
3F	1,508×1.000 = 1,508	719×(−0.802) = −577	276×0.445 = 123
2F	1,508×0.802 = 1,210	719×0.445 = 320	276×(−1.000) = −276
1F	1,508×0.445 = 671	719×1.000 = 719	276×0.802 = 221
Vi	3,389 kN	462 kN	68 kN

V_SRSS = √(3,389² + 462² + 68²) = √(11,485,321 + 213,444 + 4,624) = 3,421 kN

5-6. Step 5 — 층별 최대 변위 및 층간변위비 (SRSS)

모드별 층 변위 벡터 (mm): {u_ji} = Γ_i·{φ_i}·S_d

모드 1: {0.445, 0.802, 1.000}×1.221×104.1 = {56.6, 101.9, 127.1} mm

모드 2: {1.000, 0.445, −0.802}×0.349×22.1 = {7.72, 3.43, −6.19} mm

모드 3: {0.802, −1.000, 0.445}×0.134×10.6 = {1.14, −1.42, 0.63} mm

층	층 변위 SRSS (mm)	층간변위 δ (mm)	층간변위비 δ/h
3F	√(127.1²+6.19²+0.63²) = 127.2	127.2 − 102.1 = 25.1	25.1/4,000 = 0.63%
2F	√(101.9²+3.43²+1.42²) = 102.1	102.1 − 56.7 = 45.4	45.4/4,000 = 1.14%
1F	√(56.6²+7.72²+1.14²) = 56.7	56.7	56.7/4,000 = 1.42%

KDS 41 17 00 §5.7: 설계 층간변위는 탄성 층간변위에 변위 증폭계수 C_d를 곱하여 산출한다. 철근콘크리트 모멘트 골조(R=5, C_d=4.5) 가정 시 1층 설계 층간변위비 = 1.42%×4.5 = 6.39%. 중요도 Ⅱ 허용 2.0% 대비 대폭 초과 — 전단강성 보강이 필수적인 구조임을 시사한다.

6. SRSS와 CQC 비교 — 모드 분리도의 영향

진동수 비: β₁₂=ω₁/ω₂=6.29/17.63=0.357,  β₁₃=6.29/25.48=0.247,  β₂₃=17.63/25.48=0.692

모드 쌍 (i,j)	βij	분자	분모	ρij	비고
(1,2)	0.357	8×0.0025×1.357×0.213=0.00578	0.762+0.007=0.769	0.0075	충분히 분리
(1,3)	0.247	0.00340	0.812	0.0042	무시 가능
(2,3)	0.692	8×0.0025×1.692×0.576=0.01950	0.271+0.020=0.291	0.0670	소량 기여

V_CQC = √(3389²+2×0.0075×3389×462+462²+2×0.0042×3389×68+2×0.067×462×68+68²) = √(11,485,321+23,497+213,444+1,934+4,207+4,624) = √11,733,027 = 3,425 kN

CQC와 SRSS의 차이: (3,425−3,421)/3,421 = 0.12%. 이 구조는 모드 분리도가 충분하여(T₁/T₂=2.81) SRSS와 CQC가 실질적으로 동일하다. 비대칭 평면 구조에서 비틀림 모드와 병진 모드 주기 비가 0.9에 근접하거나, 고층 건물에서 인접 굽힘 모드 간 주기 비가 0.9 초과 시에는 반드시 CQC를 적용해야 과소 평가를 방지할 수 있다.

7. 결론

모달 응답스펙트럼해석은 고유치 분해 → 모드 참여계수 산정 → 설계응답스펙트럼 적용 → SRSS/CQC 조합의 명료한 흐름으로 구성된다. 3층 전단 프레임 수치예제에서 1차 모드 유효 질량비 91.4%가 KDS 41 17 00 §5.3.2의 90% 요건을 단독으로 충족하였고, SRSS 밑면 전단력 3,421 kN, 1층 탄성 층간변위비 1.42%를 산출하였다. CQC는 SRSS 대비 0.12% 차이에 불과하여 모드 분리가 충분한 정형 구조에서는 SRSS로 충분함을 확인하였다.

설계 실무에서 유의할 사항은 세 가지다. 첫째, RSA 밑면 전단력이 등가정적 전단력의 85% 미만인 경우 KDS 41 17 00 §5.3.6에 따라 스케일업해야 한다. 둘째, 설계 층간변위는 C_d 증폭 후 허용 층간변위와 비교해야 한다. 셋째, 비대칭 구조나 모드 주기가 근접한 경우 CQC 채택이 필수적이다.

참조 기준: KDS 41 17 00 지진력 저항 시스템 설계기준 · ASCE/SEI 7-22 §12.9 · A.K. Chopra, Dynamics of Structures, 5th ed., Pearson, 2020, Ch.13 · E.L. Wilson, A. Der Kiureghian, E.P. Bayo, "A Replacement for the SRSS Method in Seismic Analysis," Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 9(2), pp.187–192, 1981 · 본 포스트의 모든 SVG 도해는 저작권 보호 문헌을 재현하지 않고 직접 작도하였음.