직접변위기반설계(DDBD)의 이론과 적용 — 대체구조물 개념과 등가점성감쇠

직접변위기반설계(DDBD)의 이론과 적용
— 대체구조물 개념과 등가점성감쇠

Direct Displacement-Based Design : Substitute Structure & Equivalent Viscous Damping

건축구조 · 내진설계 시리즈 | 2026-06-19 | KDS 41 17 00 연계

요약. 직접변위기반설계(DDBD)는 목표 변위(손상)를 설계의 출발점으로 삼아, 비탄성 다자유도 구조물을 최대 응답 시점의 할선강성과 등가점성감쇠를 갖는 단자유도 대체구조물로 치환하여 소요 강성과 밑면전단력을 직접 산정하는 성능기반 설계법이다. 본 글은 대체구조물 이론과 등가감쇠–연성 관계를 유도하고, 4층 RC 모멘트골조의 완전한 수치예제(Δ_d, m_e, H_e, ξ_eq, T_e, V_base)로 절차 전체를 검증한다.

힘기반설계(FBD)는 가정된 반응수정계수 R과 초기 탄성강성에 의존하며, 변위는 해석의 결과로만 얻어진다. 그러나 부재 손상은 힘이 아니라 변형에 의해 지배된다. DDBD는 이 인과관계를 뒤집어, 허용 손상에 대응하는 목표 변위를 먼저 정하고 그로부터 소요 저항을 역산한다. Priestley·Calvi·Kowalsky(2007)가 체계화한 이 방법은 KDS 41 17 00의 성능기반 내진설계 틀과 정합적이다.

1. 기호 정의 (Notation)

기호	정의	기호	정의
Δi	i층 설계 변위	Δd	대체구조물 설계 변위
Δy	항복 변위	mi	i층 질량
me	등가(유효) 질량	He	유효 높이
μ	변위 연성도 Δd/Δy	ξeq	등가 점성감쇠비
Ke	유효(할선) 강성	Te	유효 주기
θy	항복 층간변형각	Vbase	설계 밑면전단력

2. 대체구조물(Substitute Structure) 이론

Shibata & Sozen(1976)이 제안하고 Priestley가 발전시킨 대체구조물 개념의 핵심은, 비선형 거동하는 실제 구조물의 최대 응답 상태를 등가 선형 단자유도(SDOF) 시스템으로 표현하는 데 있다. 이때 강성은 초기 탄성강성 K_i가 아니라, 원점과 최대 응답점을 잇는 할선강성(secant stiffness) K_e를 사용한다(그림 1). 비탄성 이력에 의한 에너지 소산은 별도의 비선형 해석 대신 등가 점성감쇠 ξ_eq로 일괄 대체된다. 즉 "강성 저하 + 감쇠 증가"라는 두 등가량으로 비선형성을 흡수한다.

Figure 1. 대체구조물 개념 — (a) 최대 응답점까지의 할선강성 K_e, (b) 비탄성 다자유도계를 유효질량·유효높이·할선강성·등가감쇠를 갖는 단자유도계로 치환. (저자 직접 작도)

3. 등가 SDOF 매개변수 유도

층별 설계 변위 Δ_i가 주어지면, 일·변위 등가 원리로부터 대체구조물의 설계 변위·유효질량·유효높이가 정의된다.

(1) Δ_d = Σ m_iΔ_i²Σ m_iΔ_i

(2) m_e = Σ m_iΔ_iΔ_d   ,   H_e = Σ m_iΔ_iH_iΣ m_iΔ_i

연성도는 μ = Δ_d/Δ_y이며, RC 모멘트골조의 항복 층간변형각은 보의 기하·재료 특성으로부터 근사된다(Priestley):

(3) θ_y = 0.5 ε_y · L_bh_b  ,  Δ_y = θ_yH_e

여기서 ε_y = f_y/E_s, L_b·h_b는 보 경간과 춤이다.

등가 점성감쇠 — 연성도 관계

등가 점성감쇠는 탄성감쇠(통상 5%)에 이력감쇠를 더한 값으로, Jacobsen의 면적 등가법에 기반한다. 이력모델별로 계수가 달라지며, 일반형은 다음과 같다.

(4) ξ_eq = 0.05 + C · μ − 1μ π

표 1. 이력 시스템별 등가감쇠 계수(Priestley et al., 2007).

이력 시스템	계수 C	비고
RC 모멘트골조 (Takeda thin)	0.565	보-기둥 강도저하·핀칭 고려
RC 전단벽 / 교각 (Takeda fat)	0.444	상대적으로 적은 핀칭
강재 모멘트골조 (탄소성)	0.577	완전 이력루프
하이브리드 프리스트레스 (flag)	0.186	자기복원·저소산

유효주기 · 유효강성 · 밑면전단력

설계 변위 응답스펙트럼(목표 감쇠 ξ_eq로 보정)에서 Δ_d에 대응하는 주기를 읽어 T_e를 구한다. 5% 감쇠 스펙트럼에 대한 보정계수는 Eurocode 8형으로

(5) R_ξ = 0.070.02 + ξ_eq ^0.5  ,  Δ(T,ξ) = R_ξ Δ(T, 5%)

유효주기가 정해지면 할선강성과 밑면전단력이 직접 산정된다.

(6) K_e = 4π² m_eT_e²  ,  V_base = K_e Δ_d

4. 수치예제 — 4층 RC 모멘트골조

층고 3.5 m(균등), 각 층 질량 m_i = 60 t, 목표 층간변형각 θ_d = 0.02(인명안전 수준). 4층 이하이므로 변위 형상은 선형(고차모드 보정 ω_θ = 1)으로 가정하여 Δ_i = θ_dH_i.

표 2. 층별 설계량 (단위: m, t, t·m, t·m², t·m²). 질량이 균등하므로 비례항은 Δ_i로 환원됨.

층 i	Hi (m)	mi (t)	Δi (m)	miΔi	miΔi2	miΔiHi
1	3.5	60	0.070	4.20	0.294	14.70
2	7.0	60	0.140	8.40	1.176	58.80
3	10.5	60	0.210	12.60	2.646	132.30
4	14.0	60	0.280	16.80	4.704	235.20
Σ				42.00	8.820	441.00

① 대체구조물 변위·질량·높이 — 식 (1),(2):

Δ_d = 8.820 / 42.00 = 0.210 m ;  m_e = 42.00 / 0.210 = 200 t (전체 240 t의 83%) ;  H_e = 441.0 / 42.00 = 10.5 m (0.75H_n)

② 항복변위·연성도 — 식 (3), f_y = 400 MPa(SD400), E_s = 200 000 MPa ⇒ ε_y = 0.002, 보 L_b = 6.0 m, h_b = 0.6 m:

θ_y = 0.5 × 0.002 × (6.0/0.6) = 0.010 ;  Δ_y = 0.010 × 10.5 = 0.105 m ;  μ = 0.210 / 0.105 = 2.0

③ 등가감쇠 — 식 (4), RC 골조 C = 0.565:

ξ_eq = 0.05 + 0.565 · 2.0 − 12.0 × π = 0.05 + 0.0899 = 0.140 (14.0%)

④ 유효주기 — 설계 변위스펙트럼: 모서리주기 T_D = 4.0 s, 5% 감쇠 최대 스펙트럼변위 Δ_D,5% = 0.50 m ⇒ Δ(T,5%) = 0.125·T. 식 (5)로 감쇠 보정:

R_ξ = (0.07 / 0.16)^0.5 = 0.662 ;  Δ(T_e,5%) = 0.210 / 0.662 = 0.317 m ⇒  T_e = 0.317 / 0.125 = 2.54 s

Figure 2. 설계 변위응답스펙트럼에서의 유효주기 결정. 목표 변위 Δ_d를 등가감쇠(14%) 곡선에 투영하여 T_e를 읽는다. (저자 직접 작도)

⑤ 유효강성·밑면전단력 — 식 (6), m_e = 200 000 kg:

K_e = 4π² × 200 0002.54² = 1.225 × 10⁶ N/m = 1 225 kN/m

V_base = K_e Δ_d = 1 225 × 0.210 = 257 kN ✓ (프로그램 재검산 일치)

⑥ 층별 횡력 분배 — F_i = V_base · (m_iΔ_i) / Σm_jΔ_j (4층 이하이므로 옥상 추가력 무시):

표 3. DDBD 등가 횡력 분배(Σ = 257 kN).

층	miΔi 비율	Fi (kN)	누적 전단 (kN)
4	0.400	102.9	102.9
3	0.300	77.1	180.0
2	0.200	51.4	231.4
1	0.100	25.7	257.1

Figure 3. 선형 설계변위형상과 그에 정합하는 DDBD 등가 횡력 분배. 횡력은 m_iΔ_i에 비례한다. (저자 직접 작도)

5. FBD와의 비교 및 설계상 의의

표 4. FBD와 DDBD의 설계 철학 비교.

항목	힘기반설계(FBD)	직접변위기반설계(DDBD)
설계 출발점	가정된 R·탄성주기	목표 변위(손상)
강성	초기 탄성강성	최대 응답 할선강성 Ke
비탄성 효과	R 계수로 일괄 저감	ξeq(연성 의존)
변위 제어	해석 결과(사후 확인)	설계 입력(직접 제어)
불규칙 구조	R 적용 불확실	부재별 연성 직접 반영 용이

핵심. DDBD에서 산정된 V_base는 목표 변위 Δ_d를 정확히 발생시키는 데 필요한 소요 강도이다. 따라서 부재 설계 시 능력설계(capacity design)로 소성힌지 위치를 의도대로 강제하고, 비소성 영역(기둥·접합부·전단)은 초과강도를 반영해 탄성으로 유지해야 메커니즘이 보장된다. μ가 크면 ξ_eq가 커져 V_base는 줄지만 변형 요구가 커지므로, 연성 상세(횡보강근 간격, 폐쇄 스터럽)가 KDS 14 20 22의 내진상세 요건을 만족해야 한다.

6. 결론

직접변위기반설계는 "변위가 손상을 지배한다"는 물리적 사실을 설계 절차의 첫 단계로 끌어올린다. 대체구조물 개념을 통해 비탄성 다자유도 응답을 할선강성·등가감쇠를 갖는 단자유도 문제로 환원함으로써, 단 한 번의 선형 스펙트럼 조회로 목표 성능에 정합하는 소요 강도를 직접 얻는다. 본 예제의 4층 골조는 Δ_d = 0.210 m, μ = 2.0, ξ_eq = 14%, T_e = 2.54 s, V_base = 257 kN으로 절차 전체가 폐합되었다. FBD가 가정한 R 뒤에 숨겨두었던 변형 요구를 명시적으로 다루는 점에서, DDBD는 KDS 41 17 00이 지향하는 성능기반 내진설계의 자연스러운 정량 도구이다. 능력설계와 결합할 때 비로소 의도한 소성 메커니즘과 목표 변위가 동시에 보장된다.

참고: M. J. N. Priestley, G. M. Calvi, M. J. Kowalsky, Displacement-Based Seismic Design of Structures, IUSS Press, 2007 · 적용 기준 KDS 41 17 00(건축물 내진설계기준), KDS 14 20 22(콘크리트 내진상세). 모든 수치는 단위 명시 후 프로그램으로 재검산함. 그림 1–3은 개념 전달을 위한 저자 직접 작도(인라인 SVG)이며 특정 문헌 도판을 모사하지 않음.

출처: https://manguhouse.com/