RC 휨부재의 크리프·건조수축 장기처짐 — 유효단면2차모멘트와 시간경과계수 λΔ의 정밀 산정 (KDS 14 20 30)

RC 휨부재의 크리프·건조수축 장기처짐 — 유효단면2차모멘트 I_e와 시간경과계수 λΔ의 정밀 산정

RC 사용성 설계 심화 · 처짐 | KDS 14 20 30(콘크리트구조 사용성 설계기준) · ACI 318-19 §24.2

요약. RC 휨부재의 장기처짐은 균열 후 강성저하(유효단면2차모멘트 I_e, Branson식)와 크리프·건조수축에 의한 추가처짐(시간경과계수 λΔ = ξ/(1+50ρ'))의 두 메커니즘이 중첩되어 발생한다. 본 글은 두 식의 역학적 근거를 단면 변형적합조건과 압축철근의 크리프 구속 효과로부터 유도하고, 지간 8 m·300×600 mm 단순보 예제로 즉시처짐 22.49 mm, 5년 후 총처짐 47.97 mm(허용한계 L/240=33.33 mm 대비 44% 초과)를 산정한다. 압축철근비를 2배로 늘려도 총처짐은 42.81 mm로 여전히 초과하며, 단면춤을 700 mm로 증대해야 31.58 mm로 한계 이내에 들어옴을 정량적으로 보인다. 모든 수치는 프로그램으로 재검산했다.

처짐 검토는 최소두께표(KDS 14 20 30 표 4.2-1)로 면제되는 경우가 많지만, 이는 "일반적인 하중·환경"을 전제로 한 약식 규정이다. 지속하중이 큰 부재나 가설지보 해체 시점이 이른 경우, 최소두께를 만족해도 명시적 처짐 계산에서 한계를 초과할 수 있다. 본 글은 그 경계를 수치로 보여주고, 설계자가 어떤 변수를 조정해야 가장 효율적으로 장기처짐을 제어할 수 있는지 정량적으로 답한다.

1. 기호 정의 (Notation)

표 1. 주요 기호 (SI 단위)

기호	정의	기호	정의
Ig	총단면(비균열) 2차모멘트	Icr	균열환산단면 2차모멘트
Ie	유효단면 2차모멘트 (Branson식)	Mcr	균열모멘트
Ma	처짐 검토 시점의 최대 사용모멘트	fr	콘크리트 파괴계수(=0.63√fck)
Ec, Es	콘크리트·철근 탄성계수	n	탄성계수비 Es/Ec
As, As′	인장·압축철근 단면적	ρ′	압축철근비 As′/(bd)
ξ	시간경과계수(재하기간 함수)	λΔ	추가 장기처짐 배율 = ξ/(1+50ρ′)
δi	즉시(탄성) 처짐	Δtotal	총처짐(즉시+장기)
c	균열단면 중립축 깊이	w, L	등분포하중, 경간

2. 즉시처짐의 역학 — 균열강성 저하와 유효단면2차모멘트

RC보는 사용하중 단계에서 인장연단 응력이 f_r을 넘는 구간에서 균열이 발생해 강성이 I_g에서 I_cr로 급격히 저하된다. 그러나 균열은 휨모멘트가 최대인 구간에 집중되고 인장측 콘크리트도 균열 사이에서 일부 인장력을 부담(tension stiffening)하므로, 실제 보의 평균 강성은 I_g와 I_cr 사이에 위치한다. Branson은 이를 모멘트비의 3제곱 가중평균으로 근사했다.

I_e = (M_cr/M_a)³ I_g + [1 − (M_cr/M_a)³] I_cr ≤ I_g (1) — KDS 14 20 30 / ACI 318-19 식 24.2.3.5a

M_a가 커질수록 (M_cr/M_a)³ 항은 빠르게 0에 수렴하여 I_e→I_cr이 된다(3제곱이므로 균열 직후 강성저하가 급격함을 표현). I_cr은 압축측 콘크리트와 환산철근(인장 nA_s, 압축 (n−1)A_s′)으로 구성된 변환단면의 중립축에 대한 2차모멘트이며, 중립축 깊이 c는 단면 1차모멘트가 0이 되는 조건에서 구한다.

bc²2 + (n−1)A_s′(c−d′) = nA_s(d−c) (2)

3. 장기처짐의 역학 — 크리프·건조수축과 압축철근의 구속 효과

지속하중 하에서 콘크리트는 시간에 따라 크리프 변형이 누적되고, 동시에 건조수축으로 단면 전체가 비대칭 변형을 일으킨다. 두 현상 모두 압축측 콘크리트의 변형률을 증가시켜 곡률을 키우고, 결국 처짐을 증대시킨다. 그런데 압축철근이 배근되어 있으면 콘크리트가 크리프로 줄어들려 할 때 철근이 그 변형에 저항하며 압축응력을 분담하게 되어(응력 재분배), 콘크리트의 순(net) 크리프 변형률이 줄어든다. 이 되먹임을 단순화한 경험식이 ACI/KCI의 λΔ이다.

λΔ = ξ1 + 50ρ′ (3) — KDS 14 20 30 / ACI 318-19 식 24.2.4.1.1

분모의 50ρ′ 항은 압축철근비가 클수록 λΔ가 작아짐을 뜻하며, 이는 위에서 설명한 응력 재분배 효과를 경험적으로 반영한 것이다. ξ는 재하 지속기간에 따라 증가하는 시간경과계수로 표 2의 값을 쓴다(코드는 이산값만 규정하며, 점 사이의 매끄러운 곡선은 Branson의 원 실험데이터를 도식화한 것으로 설계값으로 직접 사용하지 않는다).

표 2. 시간경과계수 ξ (KDS 14 20 30 / ACI 318-19 표 24.2.4.1.3)

지속 재하기간	3개월	6개월	12개월	60개월 이상(5년+)
ξ	1.0	1.2	1.4	2.0

추가 장기처짐은 지속하중(고정하중+활하중 중 지속분)에 의한 즉시처짐에만 λΔ를 곱한다는 점이 중요하다. 활하중 중 일시적 성분은 크리프·건조수축에 기여하지 않으므로 별도로 즉시처짐만 더한다. 따라서 설계 총처짐은 다음과 같이 세 항의 합으로 구성된다.

Δ_total = δ_i,D + δ_i,L + λΔ·δ_i,sus (4)

여기서 δ_i,sus는 지속하중(본 예제는 D + 0.3L로 가정)에 의한 즉시처짐이며, δ_i,D와 δ_i,L은 각각 고정하중·활하중 단독 재하 시의 즉시처짐이다. 각 항은 해당 하중수준의 M_a로 계산한 I_e를 사용해야 정확하다.

4. 수치예제 — 지간 8 m 단순보

단면 b×h = 300×600 mm, 유효깊이 d=540 mm(피복+철근 중심 60 mm), 압축철근 깊이 d′=60 mm, f_ck=27 MPa, f_y=400 MPa, 인장철근 4-D25(A_s=2027 mm²), 압축철근 2-D22(A_s′=774 mm², ρ′=0.478%)인 단순보(L=8 m)에 고정하중 w_D=18 kN/m, 활하중 w_L=12 kN/m가 작용한다(지속 활하중 비율 0.3 가정).

표 3. 단계별 산정 결과 — 기본 단면(h=600 mm)

항목	값	항목	값
Ec = 8500(fck+4)1/3	26 702 MPa	n = Es/Ec	7.49
fr = 0.63√fck	3.27 MPa	Mcr = frIg/yt	58.9 kN·m
중립축 깊이 c (식 2)	180.0 mm	Icr	2.623×10⁹ mm⁴
MD / Msus / Mtot	144.0 / 172.8 / 240.0 kN·m
Ie(MD) / Ie(Msus) / Ie(Mtot)	2.813 / 2.733 / 2.664 ×10⁹ mm⁴
δi,D / δi,sus / δi,tot	12.78 / 15.79 / 22.49 mm
δi,L(증분) = δi,tot − δi,sus	6.71 mm

ρ′=0.478%에서 50ρ′=0.239이므로 λΔ=ξ/1.239이다. 시간경과에 따른 추가 장기처짐과 총처짐을 표 4에 정리했다.

표 4. 시간경과별 총처짐 — 기본 단면(h=600 mm)

재하기간	ξ	λΔ	추가 장기처짐 λΔ·δi,sus	Δtotal	판정(L/240=33.3 mm)
3개월	1.0	0.807	12.74 mm	35.23 mm	초과
6개월	1.2	0.969	15.29 mm	37.78 mm	초과
12개월	1.4	1.130	17.84 mm	40.33 mm	초과
60개월+	2.0	1.614	25.48 mm	47.97 mm	초과(+44%)

판정: 기본 단면은 3개월 시점부터 이미 허용한계(L/240, 표 5의 사례 3)를 초과하며 5년 후에는 44% 초과한다. 최소두께표를 만족해도(h/L=600/8000=1/13.3 > 일반적 1/16 기준) 지속하중이 크면 명시적 검토가 반드시 필요함을 보여준다.

4.1 보완안 비교 — 압축철근 증대 vs 단면춤 증대

압축철근을 2-D22→4-D22(A_s′=1548 mm², ρ′=0.956%)로 2배 늘리면 λΔ(5년)=2.0/1.478=1.353으로 16% 감소하지만, I_cr·I_e 자체는 거의 변하지 않으므로 즉시처짐은 22.49→21.94 mm로 미소 개선에 그친다. 결과적으로 5년 총처짐은 47.97→42.81 mm로 줄어들지만 여전히 L/240=33.3 mm를 28% 초과한다 — λΔ 보정만으로는 근본적 해결이 안 됨을 뜻한다. 단면춤을 600→700 mm로 늘리면(d=640 mm, 동일 철근량) I_g가 1.59배, M_cr이 1.36배 증가해 I_cr·I_e 모두 큰 폭으로 개선되고, 5년 총처짐은 31.58 mm로 한계 이내(여유 5.3%)에 들어온다.

표 5. 보완안 비교 — 5년 후 총처짐

안	ρ′	λΔ(5년)	δi,tot	Δtotal(5년)	판정
기본 (h=600, 2-D22)	0.478%	1.614	22.49 mm	47.97 mm	초과 +44%
압축철근 2배 (h=600, 4-D22)	0.956%	1.353	21.94 mm	42.81 mm	초과 +28%
단면춤 증대 (h=700, 2-D22)	0.403%	1.664	14.93 mm	31.58 mm	만족 (여유 5.3%)

5. 균열단면 변환 도해

Figure 1. 기본 단면(h=600mm)의 균열 변환단면 해석 개념도 — 단면 형상·중립축 위치, 선형 변형률 분포(평면유지 가정), 환산철근 단면적 산정. (n−1)A_s′는 압축철근이 차지하던 콘크리트 면적을 제외하기 위한 보정이다. 직접 작도(저작권 문제 없음).

6. 시간경과에 따른 총처짐 — 보완 전후 비교

Figure 2. 시간경과(3·6·12·60개월)에 따른 총처짐 Δ_total 비교 — 기본 단면(적색)은 전 구간에서 허용한계(L/240=33.3mm, 점선)를 초과하나, 단면춤을 700mm로 늘린 보완안(녹색)은 5년 시점까지 한계 이내를 유지한다. 점 사이 직선은 개략 추세를 나타낼 뿐 ξ의 코드 규정값은 표 2의 이산값(3·6·12·60개월)만 유효하다. 직접 작도(저작권 문제 없음).

7. 설계자 시사점

세 가지를 정리한다. 첫째, λΔ는 압축철근비에 반비례하지만 50ρ′이라는 상대적으로 둔감한 계수 때문에 철근량을 2배 늘려도 λΔ 저감 효과는 16% 수준에 그친다 — 압축철근은 장기처짐의 "미세 조정" 수단이지 "근본 해결" 수단이 아니다. 둘째, 단면춤 증대는 I_g(∝h³)·M_cr(∝h²)·I_cr을 동시에 키워 즉시처짐과 장기처짐 모두를 효과적으로 줄인다 — 처짐이 지배하는 설계에서는 단면 강성 자체를 키우는 것이 압축철근 보강보다 본질적으로 효율적이다. 셋째, 최소두께표는 통과해도 지속하중 비율이 크거나(본 예제 0.3L 지속 가정) 조기 탈형으로 ξ가 일찍부터 누적되는 현장에서는 명시적 검토 없이는 균열·과도 처짐 민원으로 이어질 수 있다. 사용성은 강도설계만큼 정량적으로 다뤄야 하는 한계상태임을 다시 확인한다.