프리스트레스 손실 정밀 산정 — 즉시손실·시간의존손실 이론과 PT 거더 수치예제 (KDS 14 20 60)

PSC 구조설계 심화 | KDS 14 20 60 · KDS 14 20 10 · ACI 318-19 §20.3 / PCI · AASHTO LRFD 연계 | 2026-06-23

요약(SEO). 프리스트레스 손실은 긴장 직후 발생하는 즉시손실(마찰·정착활동·탄성단축)과 시간에 따라 진행되는 시간의존손실(콘크리트 크리프·건조수축, 강재 릴랙세이션)으로 나뉜다. 본 글은 각 손실 항목의 역학적 기구와 산정식을 유도하고, 경간 30 m 포스트텐션 I-거더의 긴장응력 f_pj=1450.8 MPa로부터 유효 프리스트레스 f_pe=1088.2 MPa(총손실 25.0%, 유효력 3046.8 kN)까지 단계별로 산정·검증한다. 모든 수치는 프로그램으로 재검산했다.

프리스트레스 손실의 정밀 산정은 PSC 부재 설계의 출발점이자 사용성·안전성을 가르는 핵심이다. 손실을 과소평가하면 유효 프리스트레스가 부족해 사용하중 단계에서 인장균열·과대처짐이 발생하고, 과대평가하면 긴장 직후 단계에서 압축파괴나 상향 과대 캠버가 생긴다. KDS 14 20 60(프리스트레스트 콘크리트)은 손실을 항목별로 평가하도록 요구하며, 본 글은 senior 엔지니어 관점에서 각 항목의 이론적 근거와 상호작용을 다룬다.

1. 기호 정의 (Notation)

표 1. 주요 기호

기호	정의	기호	정의
fpj	긴장(jacking) 시 강재응력	fpi	전이 직후 강재응력
fpe	유효 프리스트레스 응력	fpu	강재 인장강도(1860 MPa)
fpy	강재 항복강도(0.9fpu)	Ep	강재 탄성계수(200 GPa)
μ	곡률(각변화) 마찰계수	K	파상(wobble) 마찰계수
α	정착단~검토점 누적 각변화	Aps	긴장재 단면적
e	긴장재 편심(중립축 기준)	fcgp	긴장재 도심위치 콘크리트응력
Eci,Ec	전이/28일 콘크리트 탄성계수	φ	크리프계수
εsh	건조수축 변형률	Δfp	각 항목 응력손실

2. 손실의 분류와 설계 기준

KDS 14 20 60은 프리스트레스 손실을 발생 시점에 따라 두 범주로 구분한다. 즉시손실(immediate loss)은 긴장·정착·전이 과정에서 순간적으로 발생하며, 포스트텐션에서는 ① 덕트 마찰, ② 정착장치 활동(anchorage set), ③ 콘크리트 탄성단축의 세 항목으로 구성된다. 시간의존손실(time-dependent loss)은 ④ 콘크리트 크리프, ⑤ 콘크리트 건조수축, ⑥ 긴장재 릴랙세이션이며, 수십 년에 걸쳐 진행된다. 프리텐션에서는 마찰·정착활동이 없는 대신 전이 시 탄성단축이 모든 강재에 작용한다.

긴장응력 상한. KDS 14 20 60은 긴장 중 f_pj ≤ 0.80f_pu, 정착 직후 f_pi ≤ 0.74f_pu(또는 0.70f_pu, 정착부)로 제한한다. 본 예제는 f_pj=0.78f_pu를 채택한다.

3. 즉시손실 이론

3.1 마찰손실 (Friction)

포스트텐션에서 긴장재를 당기면 덕트 곡률에 의한 곡률마찰과 덕트의 의도치 않은 사행에 의한 파상마찰이 동시에 작용해, 정착단에서 멀어질수록 강재응력이 지수적으로 감소한다. 정착단 응력 f_pj에 대해 길이 x, 누적 각변화 α 지점의 응력은

f_px = f_pj · e^{−(μα + Kx)}(1)

지수항이 작을 때(μα+Kx ≤ 0.3) 1차 근사 f_px ≈ f_pj(1 − μα − Kx)도 허용된다. 포물선 텐던(드레이프 a, 경간 L)의 정착단~중앙부 누적 각변화는 단부 기울기로부터 α = 4a/L 이다.

3.2 정착활동손실 (Anchorage Set)

쐐기정착에서 잭을 풀어 하중을 정착장치로 옮길 때 쐐기가 Δ_set(통상 6 mm)만큼 미끄러지며 강재가 되돌아간다. 이 역방향 변형은 마찰에 의해 정착단 인근의 일정 길이 x_set 안에서만 흡수되고, 그 구간의 응력을 끌어내린다. 마찰에 의한 응력구배를 p(MPa/m)라 하면, 정착활동이 미치는 영향길이와 정착단 손실은

x_set = Δ_set · E_pp^1/2 ,   Δf_set(0) = 2p · x_set(2)

검토점이 x_set 밖에 있으면(x > x_set) 그 단면의 정착활동손실은 0이다. 따라서 정착활동은 단부 응력을 크게 낮추지만 중앙부 설계 단면에는 영향을 주지 않을 수 있다.

3.3 탄성단축손실 (Elastic Shortening, ES)

프리스트레스 도입으로 콘크리트가 압축·단축되면 부착된 긴장재도 함께 줄어 응력을 잃는다. 포스트텐션에서 텐던을 순차 긴장하면 마지막 텐던은 손실이 없고 첫 텐던이 최대이므로, 다수 텐던의 평균값으로

Δf_ES = 12 · E_pE_ci · f_cgp(3)

여기서 f_cgp는 긴장재 도심에서 프리스트레스와 자중에 의해 발생하는 콘크리트 응력이다(압축 +):

f_cgp = PA + P e²I − M_sw eI(4)

그림 1. 예제 거더의 텐던 형상. 텐던은 양 정착단에서 중립축, 중앙부에서 편심 e=0.55 m로 포물선 배치된다. (저자 직접 작도, 개념도)

4. 시간의존손실 이론

긴장재에 작용하는 지속 압축응력은 콘크리트의 크리프를, 수분 증발은 건조수축을 일으켜 부재를 추가로 단축시키고, 동시에 강재 자체는 일정 변형률 하에서 응력이 서서히 감소하는 릴랙세이션을 겪는다. 세 항목은 상호의존적이지만, 설계 실무에서는 항목별로 분리 산정 후 합산하는 방식이 KDS·PCI에서 허용된다.

4.1 크리프 (Creep)

Δf_CR = E_pE_c · φ · f_cgp(5)

φ는 크리프계수(통상 1.3~2.0)이며 재령·부재 두께·습도의 함수다. 지속하중에 의한 콘크리트 응력 변화(추가 사하중)가 있으면 f_cgp에서 차감한다.

4.2 건조수축 (Shrinkage)

Δf_SH = ε_sh · E_p(6)

ε_sh는 유효 건조수축 변형률(통상 150~350 × 10⁻⁶)로, 상대습도·체적표면비·양생조건에 따라 보정한다. 건조수축은 응력과 무관하게 진행되므로 모든 긴장재에 동일하게 작용한다.

4.3 릴랙세이션 (Relaxation)

저릴랙세이션 강재의 응력 감소는 Magura 식으로 평가한다(f_pi/f_py ≥ 0.55):

Δf_RE = f_pi · log₁₀(24t)45 · ( f_pif_py − 0.55 )(7)

분모 45는 저릴랙세이션 강재 계수이며(보통강재는 10), t는 시간(hr)이다. 크리프·건조수축으로 강재변형률이 줄면 릴랙세이션도 감소하므로, 정밀 해석에서는 시간증분법으로 연성한다.

5. 수치예제 — 30 m 포스트텐션 I-거더

표 2. 설계 입력

항목	값	항목	값
경간 L	30 m	드레이프 a	0.6 m
단면적 A	0.50 m²	단면2차모멘트 I	0.070 m⁴
편심 e(중앙)	0.55 m	자중 w	12 kN/m
Aps	2800 mm²	fpj	1450.8 MPa (0.78fpu)
μ / K	0.20 / 0.0046 m⁻¹	Δset	6 mm
f′ci / f′c	32 / 40 MPa	Eci/Ec	26 587 / 29 725 MPa
φ (크리프)	1.3	εsh	200 × 10⁻⁶

5.1 마찰손실 (중앙 단면)

α = 4(0.6)/30 = 0.08 rad, x = 15 m ⇒ μα+Kx = 0.20(0.08)+0.0046(15) = 0.085.

f_px = 1450.8 · e^−0.085 = 1332.6 MPa ⇒ Δf_fr = 118.2 MPa

5.2 정착활동손실

마찰 응력구배 p = f_pj(μ·d α/dx + K) = 1450.8(0.20·0.002667+0.0046) = 7.45 MPa/m.

x_set = (0.006·200000 / 7.45)^1/2 = 12.69 m < 15 m

정착활동 영향길이가 중앙부에 못 미치므로, 중앙 단면의 정착활동손실 = 0(정착단에서는 약 189 MPa). 중앙부 응력은 1332.6 MPa로 유지된다.

5.3 탄성단축손실

P = 1332.6 × 2800 / 10³ = 3731.2 kN, M_sw = 12·30²/8 = 1350 kN·m.

f_cgp = 3731.20.50 + 3731.2·0.55²0.070 − 1350·0.550.070 = 7.46 + 16.13 − 10.61 = 12.98 MPa

Δf_ES = ½ · (200000/26587) · 12.98 = 48.8 MPa ⇒ f_pi = 1283.8 MPa (0.69f_pu) ✓

5.4 시간의존손실

크리프: Δf_CR = (200000/29725)·1.3·12.98 = 113.5 MPa.
건조수축: Δf_SH = 200×10⁻⁶ · 200000 = 40.0 MPa.
릴랙세이션(t = 30년 ≈ 2.63×10⁵ hr): Δf_RE = 1283.8 · (log₁₀(24t)/45) · (1283.8/1674 − 0.55) = 42.1 MPa.

그림 2. 정착단에서 긴장응력 f_pj은 마찰로 중앙부까지 감소(파란선)하고, 정착활동은 x_set=12.69 m 이내에서만 응력을 추가로 낮춘다(빨간선). 중앙부 설계 단면은 정착활동 영향 밖이다. (저자 직접 작도)

5.5 손실 집계

표 3. 항목별 손실 집계 (중앙 단면)

구분	항목	Δfp (MPa)	fpj 대비
즉시손실	마찰	118.2	8.1%
	정착활동(중앙)	0	0%
	탄성단축	48.8	3.4%
시간의존	크리프	113.5	7.8%
	건조수축	40.0	2.8%
	릴랙세이션	42.1	2.9%
총손실		362.6	25.0%

f_pe = 1450.8 − 362.6 = 1088.2 MPa (= 0.585f_pu) ✓
유효 프리스트레스력 P_e = 1088.2 × 2800 / 10³ = 3046.8 kN

그림 3. 긴장응력은 마찰·탄성단축의 즉시손실로 전이 시점 f_pi까지 계단형으로 떨어지고, 이후 크리프·건조수축·릴랙세이션의 시간의존손실로 f_pe까지 점진 감소한다. (저자 직접 작도)

6. 기준 적용과 실무적 함의

본 예제의 총손실 25.0%는 포스트텐션 부재의 통상 범위(15~25%) 상단에 해당한다. 즉시손실(11.5%)에서는 마찰이, 시간의존손실(13.5%)에서는 크리프가 지배적이다. KDS 14 20 60은 이처럼 항목별 평가를 원칙으로 하되, 예비설계 단계에서는 일괄식(lump-sum) 추정을 허용한다. 다만 정밀 검토에서는 다음을 유의해야 한다.

표 4. 손실 산정의 민감 변수와 영향

변수	증가 시 영향	비고
마찰계수 μ, K	마찰손실 ↑, 단부~중앙 응력차 ↑	덕트 종류·시공품질 의존
크리프계수 φ	크리프손실 선형 ↑	재령·습도·부재두께
fcgp	ES·크리프 동반 ↑	편심·프리스트레스 수준
강재 종류	저릴랙세이션이 손실 ↓	계수 45 vs 10

특히 마찰계수는 실측 신장량(elongation)으로 역검증해야 하며, 시공 중 측정 신장량이 이론값과 ±7% 이상 차이 나면 μ·K 재평가가 필요하다. 또한 정착활동 영향길이 x_set이 짧은 단경간에서는 단부 응력이 크게 저하되어, 단부 정착부 지압검토에 유리하게 작용하기도 한다.

7. 결론

프리스트레스 손실은 단순한 감가율이 아니라, 마찰·정착·탄성·점탄성 거동이 중첩된 시간의존 문제다. 본 글은 KDS 14 20 60 체계에 따라 즉시손실과 시간의존손실을 분리 산정하고, 30 m 포스트텐션 거더 예제에서 f_pj=1450.8 MPa → f_pe=1088.2 MPa(총 25.0%, P_e=3046.8 kN)를 단계별로 유도·검증했다. 설계 실무에서는 손실을 보수적으로 평가하되 단계별로 추적해, 전이 단계의 상연단 인장·압축과 사용 단계의 하연단 응력을 모두 허용범위에 두는 것이 핵심이다. 정밀도가 요구되는 장경간·곡선부재에서는 시간증분 기반의 연성 해석으로 크리프–건조수축–릴랙세이션 상호작용을 반영할 것을 권한다.