응답스펙트럼에서 설계스펙트럼으로: 유사가속도의 정확한 역학적 정체와 주기구간 이상화

응답스펙트럼에서 설계스펙트럼으로: 유사가속도의 정확한 역학적 정체와 주기구간 이상화

From Response Spectrum to Design Spectrum: The Exact Mechanical Identity of Pseudo-Acceleration, Period-Range Idealization, and the Origin of Code Spectral Shapes in KDS 41 17 00, ASCE/SEI 7-22 and EN 1998-1

초록 — 설계응답스펙트럼의 3구간 형상은 Newmark–Hall 이상화에서 유래하나, 그 계수의 기원과 기준 간 불일치는 실무에서 거의 검토되지 않는다. 본 고는 유사가속도 $A$와 유사속도 $V$의 정확한 역학적 정의를 재유도하고, 합성 지반운동 30개에 대한 정적분 해석으로 유사량과 참값의 편차를 정량화하였다. $A$는 $\zeta =5\mathrm{\%}$에서 주기 17 s까지 참 최고전가속도와 5 % 이내로 일치하는 반면 $V$는 참 최고상대속도와 최대 23배까지 어긋났다. KDS 41 17 00·ASCE/SEI 7-22·EN 1998-1의 스펙트럼 형상을 동일 부지 조건에서 비교한 결과, 장주기 전이주기 $T_L$의 차이만으로 주기 5 s 구조물의 탄성변위요구가 2.0배 벌어졌다.

주제어 : 응답스펙트럼(response spectrum), 유사가속도(pseudo-acceleration), 설계스펙트럼(design spectrum), 감쇠수정계수(damping modification factor), 장주기 전이주기(long-period transition period), 다주기 응답스펙트럼(multi-period response spectra), Newmark–Hall 이상화

목차

1. 서론
2. 이론적 배경 — 유사량의 정의와 정확한 의미
3. 설계기준 비교 : KDS · ASCE/SEI 7-22 · EN 1998-1
4. 설계 예제
5. 고찰
6. 결론
7. 기호 및 약어
8. 참고문헌

1. 서론

응답스펙트럼은 1932년 비오(M. A. Biot)가 도입하고 하우스너(G. W. Housner)가 실무 도구로 정착시킨 이래 지진공학의 중심 개념으로 기능해 왔다. 그러나 이 개념이 설계기준에 이식되는 과정에서 두 개의 층위가 생겼다. 하나는 특정 지반운동에 대한 실제 응답스펙트럼이고, 다른 하나는 이를 매끄러운 몇 개의 직선으로 대체한 설계스펙트럼이다. 오늘날 대부분의 설계자가 다루는 것은 후자뿐이며, 그 이상화에 어떤 통계적 판단과 계수 보정이 개입했는지는 좀처럼 재검토되지 않는다.

이 문제가 지금 다시 중요해진 이유는 ASCE/SEI 7-22가 다주기 응답스펙트럼(multi-period response spectra, MPRS)을 설계응답스펙트럼의 원칙적 산정방법으로 채택했기 때문이다(ASCE/SEI 7-22 §11.4.5.1). 40여 년간 미국·한국·유럽의 설계실무를 지배해 온 "일정가속도 평탄부 + $1/T$ 감쇠"의 2주기 이상화가, 적어도 한 기준에서는 원칙의 자리를 내준 것이다. KDS 41 17 00과 EN 1998-1은 여전히 2주기 형식을 유지하고 있으므로, 세 기준의 형상이 어디에서 왜 갈라지는지를 지금 정리해 둘 실익이 크다.

본 고의 범위 — 본 고는 선형 탄성 단자유도(SDF) 시스템의 응답스펙트럼과, 이로부터 유도되는 탄성 설계스펙트럼에 한정한다. 반응수정계수 $R$·거동계수 $q$에 의한 비탄성 축소, 일정연성 스펙트럼, 다자유도계의 모드조합(SRSS·CQC), 부지응답해석과 시간이력 선정·스케일링은 각각 별도 논고에서 다루며 여기서는 필요한 최소한만 언급한다. 특히 유사가속도와 참가속도의 구별은 탄성 응답 수준에서만 논의하며, 비선형 이력계에서의 등가선형화 문제는 다루지 않는다.

2. 이론적 배경 — 유사량의 정의와 정확한 의미

2.1 응답 최고치 연산자

지반가속도 ${\ddot{u}}_g(t)$를 받는 감쇠 SDF 시스템의 지배방정식과 그 정규화 형태는 다음과 같다.

$$m\ddot{u}+c\dot{u}+ku=-m{\ddot{u}}_g(t)⟹\ddot{u}+2\zeta {\omega }_n\dot{u}+{\omega }_n^{2}u=-{\ddot{u}}_g(t)$$

(1)

여기서 $u$는 지반에 대한 상대변위, ${\omega }_n=2\pi /T_n$, $\zeta =c/(2m{\omega }_n)$이다. 정지 초기조건에 대한 해는 Duhamel 적분으로 주어진다.

$$u(t)=-\frac{1}{{\omega }_D}{\int }_0^t{\ddot{u}}_g(\tau )e^{-\zeta {\omega }_n(t-\tau )}\sin {\omega }_D(t-\tau )d\tau ,{\omega }_D={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$$

(2)

식 (2)는 $u(t)$가 $T_n$과 $\zeta$ 두 개의 매개변수에만 의존함을 보인다. 이 사실이 응답스펙트럼이라는 개념을 성립시킨다. 최고변형응답과 이에 대수적으로 연동된 두 물리량은 다음과 같이 정의된다.

$$D(T_n,\zeta )\equiv \underset{t}{max}|u(t,T_n,\zeta )|,V\equiv {\omega }_{n}D=\frac{2\pi }{T_n}D,A\equiv {\omega }_n^{2}D={\left(\frac{2\pi }{T_n}\right)}^{2}D$$

(3)

$V$와 $A$는 속도·가속도의 차원을 가지되 실제 최고속도·최고가속도와 같지 않으므로 유사(pseudo)라는 접두어가 붙는다. 문제는 이 말이 근사 또는 오차를 함의하는 것으로 오독되기 쉽다는 데 있다.

2.2 유사가속도와 참 전가속도의 정확한 관계

식 (1)을 재배열하면 전(全)가속도 ${\ddot{u}}^t=\ddot{u}+{\ddot{u}}_g$는 감쇠력항과 복원력항의 합으로 정확히 표현된다.

$${\ddot{u}}^t(t)=-[2\zeta {\omega }_n\dot{u}(t)+{\omega }_n^{2}u(t)]=-[A(t)+2\zeta {\omega }_n\dot{u}(t)],A(t)\equiv {\omega }_n^{2}u(t)$$

(4)

식 (4)로부터 두 가지가 즉시 따라온다. 첫째, $\zeta =0$이면 $A(t)=-{\ddot{u}}^t(t)$가 항등적으로 성립한다. 둘째, $\zeta \ne 0$일 때 두 양의 차이는 오직 감쇠력항 $2\zeta {\omega }_n\dot{u}$뿐이며, 따라서 최고치의 편차는 다음 경계로 묶인다.

$$|A_o-{\ddot{u}}_o^t|\le 2\zeta {\omega }_n{\dot{u}}_o=2\zeta \frac{2\pi }{T_n}{\dot{u}}_o$$

(5)

식 (5)의 우변은 $\zeta$에 비례하고 $T_n$에 반비례하지만 ${\dot{u}}_o$ 자체가 장주기에서 커지므로 편차의 주기 의존성은 단순하지 않다. 이를 정량화하기 위해 Clough–Penzien 필터 백색잡음에 Jennings형 포락함수를 적용한 합성 지반운동 30개를 생성하고(대역 0.05–25 Hz, PGA 0.30 g 정규화), Nigam–Jennings 구간선형 정적분법으로 $u$, $\dot{u}$, ${\ddot{u}}^t$를 계산하였다. 적분기는 조화가진 정상상태 해와 ${10}^{-6}$ 이내로 일치하고, $\zeta =0$에서 식 (4)의 항등관계를 기계정밀도로 재현함을 확인하였다.

그림 1. 유사가속도 $A(t)={\omega }_n^{2}u(t)$와 참 전가속도 $-{\ddot{u}}^t(t)$의 시간이력 비교. (a) $T_n=1.0\mathrm{s}$, $\zeta =5\mathrm{\%}$ — 두 곡선이 사실상 중첩된다. (b) $T_n=5.0\mathrm{s}$, $\zeta =20\mathrm{\%}$ — 감쇠력항 $2\zeta {\omega }_n\dot{u}$에 의한 고주파 성분이 분리된다.

그림 1은 두 물리량의 시간이력을 대조한 것이다. $T_n=1.0\mathrm{s}$, $\zeta =5\mathrm{\%}$에서 두 곡선은 육안으로 구별되지 않으며 최고치 비는 0.997이다. 반면 $T_n=5.0\mathrm{s}$, $\zeta =20\mathrm{\%}$에서는 $-{\ddot{u}}^t(t)$에 감쇠력에 기인하는 고주파 성분이 실려 비가 0.86 수준으로 낮아진다. 즉 $A$는 가속도의 근사가 아니라 전가속도에서 감쇠력 기여를 제거한 복원력 성분이다.

그림 2. 유사량과 참값의 비 (합성 지반운동 30개 앙상블 평균). (a) $A_o/{\ddot{u}}_o^t$ — 통상 감쇠에서 1에 극히 근접한다. (b) $V_o/{\dot{u}}_o$ — 주기에 따라 23배 범위로 변동한다.

그림 2(a)는 앙상블 평균 비 $A_o/{\ddot{u}}_o^t$를 주기와 감쇠비의 함수로 제시한다. $\zeta =2\mathrm{\%}$에서는 $T_n\le 10\mathrm{s}$ 전 구간에서 오차가 0.3 % 미만이고, $\zeta =5\mathrm{\%}$에서도 $T_n\le 17.7\mathrm{s}$까지 오차가 5 % 이내이다. 감쇠가 커지면 상황이 달라져 $\zeta =10\mathrm{\%}$에서는 6.9 s, $\zeta =20\mathrm{\%}$에서는 불과 0.22 s부터 오차가 5 %를 넘는다. 실무적으로 이는 통상적 건물($\zeta =2\sim 5\mathrm{\%}$)에서 $A$를 최고 층가속도의 대용치로 쓰는 것은 안전하지만, 면진·제진 구조물(유효감쇠 $15\sim 30\mathrm{\%}$, $T\approx 2\sim 4\mathrm{s}$)에서는 그렇지 않음을 뜻한다. 본 해석에서 $\zeta =20\mathrm{\%}$, $T_n=3\mathrm{s}$의 비는 0.878로, 유사가속도를 그대로 쓰면 참 최고전가속도를 12 % 과소평가한다.

그림 2(b)의 $V_o/{\dot{u}}_o$는 사정이 전혀 다르다. 이 비는 $T_n=0.02\mathrm{s}$에서 8.06, $T_n=20\mathrm{s}$에서 0.35로 23배의 범위에 걸쳐 변동하며, 1에 가까운 구간은 $T_n\approx 0.5\mathrm{s}$ 부근에 국한된다. 유사속도는 속도의 추정치로 사용할 수 없다는 결론이 여기서 나온다.

2.3 유사량은 근사가 아니라 정확한 힘·에너지 지표이다

그렇다면 왜 $A$와 $V$를 정의하는가. 이 둘이 대응하는 대상이 애초에 가속도와 속도가 아니기 때문이다. 탄성복원력은 정의상 다음과 같다.

$$f_S(t)=ku(t)=m{\omega }_n^{2}u(t)=mA(t)⟹f_{So}=mA=\frac{A}{g}w$$

(6)

식 (6)에는 어떠한 근사도 개입하지 않는다. 즉 $A$는 "질량으로 나눈 최고탄성복원력"의 정확한 값이며, 밑면전단력과 전도모멘트가 이로부터 직접 결정된다.

$$V_{bo}=f_{So}=mA=\frac{A}{g}w,M_{bo}=h{V}_{bo}$$

(7)

식 (7)의 $A/g$가 곧 설계기준의 밑면전단력계수(base shear coefficient)이며, 이것이 응답스펙트럼과 등가정적해석법을 잇는 고리이다. 마찬가지로 최고변형에너지는 $V$로 정확히 표현된다.

$$E_{So}=\frac{k{u}_o^2}{2}=\frac{k{D}^2}{2}=\frac{k(V/{\omega }_n{)}^2}{2}=\frac{m{V}^2}{2}$$

(8)

따라서 세 스펙트럼은 동일한 정보의 세 표현이되, 각각이 직접 제공하는 물리량이 다르다. $D$는 변형, $A$는 힘, $V$는 에너지이다. 이 셋은 다음 관계로 결속되며, Veletsos–Newmark(1960)가 제안한 4방향 대수그래프(tripartite plot)의 근거가 된다.

$$\frac{A}{{\omega }_n}=V={\omega }_{n}D⟺\frac{T_n}{2\pi }A=V=\frac{2\pi }{T_n}D$$

(9)

2.4 주기구간의 3분할과 Newmark–Hall 이상화

극한거동이 스펙트럼의 골격을 정한다. $T_n\to 0$이면 시스템은 강체가 되어 지반과 일체로 움직이므로 $u\to 0$, ${\ddot{u}}^t\to {\ddot{u}}_g$, 따라서 $A\to {\ddot{u}}_{go}$이다. 반대로 $T_n\to \mathrm{\infty }$이면 질량은 관성계에 정지한 채 지반만 움직이므로 $u\to -u_g$, 즉 $D\to u_{go}$이고 $A\to 0$이다.

$$\underset{T_n\to 0}{lim}A={\ddot{u}}_{go},\underset{T_n\to \mathrm{\infty }}{lim}D=u_{go}$$

(10)

두 극한 사이에서 스펙트럼은 세 개의 증폭 평탄부를 형성한다. Newmark–Hall(1982)은 이를 지반운동 최고값에 증폭계수를 곱한 상수로 이상화하였다.

$$A={\alpha }_A{\ddot{u}}_{go},V={\alpha }_V{\dot{u}}_{go},D={\alpha }_D{u}_{go}$$

(11)

세 평탄부의 교차점이 곧 구간 경계이며, 식 (9)를 이용하면 폐형으로 얻어진다.

$$T_c=\frac{2\pi V}{A}=2\pi \frac{{\alpha }_V{\dot{u}}_{go}}{{\alpha }_A{\ddot{u}}_{go}},T_d=\frac{2\pi D}{V}=2\pi \frac{{\alpha }_D{u}_{go}}{{\alpha }_V{\dot{u}}_{go}}$$

(12)

$T_n<T_c$는 가속도에 민감한 구간, $T_c<T_n<T_d$는 속도에 민감한 구간, $T_n>T_d$는 변위에 민감한 구간이다. 그림 3은 본 고의 앙상블에 대해 세 정규화 스펙트럼을 함께 도시하고, 식 (11)–(12)를 자기무모순적으로 반복 적용하여 얻은 이상화 평탄부를 겹쳐 놓은 것이다.

그림 3. 정규화 응답스펙트럼과 Newmark–Hall 3구간 이상화 ($\zeta =5\mathrm{\%}$). 파선은 식 (11)–(12)를 자기무모순적으로 반복 적용하여 얻은 이상화 평탄부이며, 교차점이 구간 경계 $T_c$, $T_d$를 정의한다.

본 해석에서 $\zeta =5\mathrm{\%}$에 대해 ${\alpha }_A=2.35$, ${\alpha }_V=1.44$, ${\alpha }_D=2.18$을 얻었다. Newmark–Hall이 실기록 앙상블로부터 제시한 중앙값 2.12 / 1.65 / 1.39와 비교하면 가속도 증폭은 11 % 크고 속도 증폭은 13 % 작다. 합성 지반운동의 진동수 내용이 실기록 앙상블의 평균적 형상과 같지 않기 때문이며, 증폭계수가 그에 얼마나 민감한지를 역으로 보여준다. 다만 구간 경계의 감쇠 의존 경향은 일치하여 $T_c$는 $\zeta =0$에서 0.33 s, 20 %에서 0.58 s로, $T_d$는 4.5 s에서 8.9 s로 증가하였다. 즉 $T_c$와 $T_d$는 감쇠에 따라 이동하는 반면 식 (10)의 점근구간은 감쇠와 무관하다.

[이미지 삽입 위치 — 그림 4]
권장 이미지 : 1940 El Centro(Imperial Valley) 지진의 원본 강진기록지 또는 초기 응답스펙트럼 산정용 기계식 해석기(Biot 진자형 스펙트럼 해석기) 사진
검색 키워드 : "Biot mechanical response spectrum analyzer Caltech", "1940 El Centro accelerogram original record", "USGS strong motion accelerograph historical"
권장 출처 : USGS Photographic Library, Caltech Archives(EERL), NIST/FEMA 공개 보고서 — 저작권 및 이용조건 반드시 확인
최소 해상도 : 가로 1600 px 이상  /  캡션 : "그림 4. 응답스펙트럼 개념의 기원 — 초기 기계식 스펙트럼 해석기"  /  대체텍스트(alt) : "진자 배열로 구성된 초기 기계식 응답스펙트럼 해석기"

3. 설계기준 비교 : KDS 41 17 00 · ASCE/SEI 7-22 · EN 1998-1

3.1 세 기준의 스펙트럼 형상

KDS 41 17 00 : 2022의 설계응답스펙트럼은 §4.2.1에서 네 개의 분기로 정의된다. 단주기·1초주기 설계스펙트럼가속도 $S_{DS}$, $S_{D1}$은 유효지반가속도 $S$와 지반증폭계수 $F_a$, $F_v$로부터 §4.2.2에 따라 산정된다.

$$S_a=\{\begin{array}{ll}{S}_{DS}(0.4+0.6T/T_0)& T\le T_0\\ S_{DS}& T_0<T\le T_S\\ S_{D1}/T& T_S<T\le 2.5\mathrm{s}\\ T_L{S}_{D1}/T^2& T>2.5\mathrm{s}\end{array}{T}_0=0.2\frac{S_{D1}}{S_{DS}},T_S=\frac{S_{D1}}{S_{DS}}$$

(13)

여기서 $T_L=2.5\mathrm{s}$이며, 마지막 분기의 계수는 $T=2.5\mathrm{s}$에서의 연속조건 $S_{D1}/2.5=T_L{S}_{D1}/{2.5}^2$로부터 결정된다. ASCE/SEI 7-22의 2주기 스펙트럼(§11.4.5.2, 등가정적해석 Method 2)은 형상이 식 (13)과 동일하되 $T_L$이 고정값이 아니라 지도화된 장주기 전이주기라는 점이 다르다. EN 1998-1:2004 §3.2.2.2의 수평 탄성응답스펙트럼은 다음과 같다.

$$S_e(T)=a_{g}S\cdot \{\begin{array}{ll}1+{\displaystyle \frac{T}{T_B}}(2.5\eta -1)& 0\le T\le T_B\\ 2.5\eta & T_B\le T\le T_C\\ 2.5\eta {\displaystyle \frac{T_C}{T}}& T_C\le T\le T_D\\ 2.5\eta {\displaystyle \frac{T_C{T}_D}{T^2}}& T_D\le T\le 4\mathrm{s}\end{array}\eta =\sqrt{\frac{10}{5+\xi }}\ge 0.55$$

(14)

식 (13)과 (14)는 구조적으로 같은 4분기 형식이지만 세부에서 체계적으로 갈라진다. 표 1에 핵심 규정을 대조하였다.

표 1. 탄성 설계응답스펙트럼 규정의 KR / US / EU 대조

항목	KDS 41 17 00 : 2022 (KR)	ASCE/SEI 7-22 (US)	EN 1998-1 : 2004 (EU)
원칙적 산정법	2주기(3구간) 형상, §4.2.1	다주기 응답스펙트럼 MPRS, §11.4.5.1 (2주기는 §11.4.5.2 및 ELF Method 2로 허용)	2주기 형상, §3.2.2.2 Type 1 / Type 2 이원화
기본 앵커량	유효지반가속도 $S$ (§3.2, 2400년 재현주기)	지도화된 스펙트럼가속도 좌표 ($S_S,S_1$ 또는 다주기 좌표)	기준지반가속도 $a_g$ (지반종류 A)
평탄부 증폭	2.5 (고정)	없음 — 좌표가 직접 사상됨	2.5$\eta$ (고정, 감쇠보정 포함)
$T=0$ 값	$0.4S_{DS}$	$0.4S_{DS}$ (2주기) / $S_a(0)$ (MPRS)	$a_{g}S$ (= 설계 PGA, 정의상 일치)
상승분기 코너	$T_0=0.2S_{D1}/S_{DS}$ — 부지에 따라 이동	$T_0=0.2S_{D1}/S_{DS}$	$T_B$ — 지반종류별 고정값 (Type 1 : 0.15~0.20 s)
속도구간 개시	$T_S=S_{D1}/S_{DS}$ — 종속변수	$T_S=S_{D1}/S_{DS}$	$T_C$ — 지반종류별 독립 지정 (Type 1 : 0.4~0.8 s)
장주기 전이	$T_L=2.5\mathrm{s}$ 고정, 이후 $1/T^2$	$T_L$ 지도화 (지역별 상이), 이후 $1/T^2$	$T_D$ : Type 1 = 2.0 s, Type 2 = 1.2 s (권장값)
감쇠 처리	5 % 고정 — 스펙트럼 자체에 보정 없음	5 % 기준. 감쇠장치 구조물은 계수 $B$ (Table 18.7-1)로 나눔	$\eta =\sqrt{10/(5+\xi )}\ge 0.55$ 로 직접 보정
안전율 형식	강도설계 : 하중계수 + 강도감소계수 $\varphi$	강도설계 : LRFD, $\varphi$. MCE${}_R$의 2/3 환산	부분계수 : ${\gamma }_F$ (작용), ${\gamma }_M$ (재료), EN 1990
국가재량	단일 국가기준	단일 국가기준(+ 지역 부속)	국가부속서(NA)가 $a_g$, 스펙트럼 형식, $S$, $T_B$, $T_C$, $T_D$를 결정

3.2 차이는 어디에서 오는가 — 앵커링 철학

표 1의 항목들은 산발적 불일치가 아니라 하나의 근본적 분기에서 파생된다. KDS와 EN은 단일 스칼라 지반가속도에 고정 형상을 곱하는 체계이고, ASCE는 여러 주기의 스펙트럼 좌표를 직접 확률론적 지진재해해석(PSHA)에서 사상하는 체계이다.

전자의 장점은 명료함이다. 국가지진위험지도가 단 하나의 값($S$ 또는 $a_g$)만 제공하면 되고 형상은 지반종류로만 조정되므로 갱신 비용이 낮다. 대신 형상계수가 지진규모·진원거리·단층기구에 따라 실제로 변한다는 사실이 구조적으로 무시된다.

후자, 즉 ASCE/SEI 7-22가 MPRS로 이행한 이유가 여기에 있다. NEHRP 2020 권고안(FEMA P-2082)에 따르면 2주기 형상은 지도화된 두 좌표 $S_S$, $S_1$만으로 전 주기 형상을 강제하므로 연약지반과 대규모 지진 시나리오에서 실제 다주기 형상과 체계적으로 어긋난다. 미국지질조사국(USGS) Seismic Design Geodatabase가 다수 주기의 좌표를 직접 제공하게 되면서 이 대리(proxy) 단계를 제거할 조건이 갖추어졌다. 다만 2주기 스펙트럼은 등가정적해석 Method 2로 남았고 이 경로에 별도의 설계 페널티는 없다.

3.3 평탄부 계수 2.5의 통계적 위치

KDS와 EN이 공유하는 평탄부 증폭 2.5는 어디에서 왔는가. Newmark–Hall의 회귀식은 감쇠비 $\zeta$(%)에 대해 다음 형태를 가진다.

$${\alpha }_A=3.21-0.68\ln \zeta (\text{중앙값}),{\alpha }_A=4.38-1.04\ln \zeta (84.1\text{백분위})$$

(15)

$\zeta =5\mathrm{\%}$를 대입하면 중앙값 2.12, 84.1 백분위 2.71을 얻는다. 기준의 2.5는 이 둘 사이, 대략 70 백분위 부근에 놓인다. 즉 2.5는 물리상수가 아니라 중앙값보다는 보수적이되 1시그마에는 못 미치는 위치를 의도적으로 선택한 신뢰도 목표의 산물이다. 본 고의 합성 앙상블에서 얻은 2.35 역시 이 범위 안에 있다.

$T=0$ 값의 처리도 다르다. KDS·ASCE의 $0.4S_{DS}$는 $0.4\times 2.5=1.0$이므로 설계수준 유효지반가속도와 정확히 일치하도록 구성된 것이고, EN은 $a_{g}S$를 직접 쓴다. 결과적으로 두 앵커는 같아지지만, 상승분기의 코너가 KDS·ASCE에서는 $T_0=0.2T_S$로 부지에 종속되는 반면 EN에서는 $T_B$가 독립 지정값이라는 차이가 남는다. 이는 강성 구조물에서 무시할 수 없는 크기로 나타나며 §4.3에서 정량화한다.

3.4 장주기 전이주기 — 가장 큰 불일치

세 기준의 최대 불일치는 변위 민감 구간의 개시점에 있다. KDS는 $T_L=2.5\mathrm{s}$ 고정, EN 1998-1은 Type 1에서 $T_D=2.0\mathrm{s}$·Type 2에서 1.2 s를 권장하며, ASCE/SEI 7-22는 $T_L$을 지도화한다. 식 (12)에 따르면 $T_d$는 $u_{go}/{\dot{u}}_{go}$에 비례하고 이 비는 지진규모와 함께 증가한다(단층 파열면 치수와 코너주파수의 규모 의존성). 즉 $T_d$는 본질적으로 시나리오 규모의 함수이며, 고정 상수로 규정하는 순간 특정 규모대에만 타당해진다.

이 차이는 스펙트럼가속도보다 스펙트럼변위에서 훨씬 극적으로 드러난다. $1/T^2$ 분기에서는

$$S_d={\left(\frac{T}{2\pi }\right)}^2{S}_a=\frac{T_L{S}_{D1}}{4{\pi }^2}g=\text{일정}$$

(16)

가 되어 변위요구가 주기와 무관한 상수로 고정된다. 이는 식 (10)의 $D\to u_{go}$ 극한을 코드가 구현한 형태이며, 물리적으로 정확한 거동이다. 문제는 그 상수값이 $T_L$에 선형 비례한다는 데 있다. $T_L$이 2.5 s인 기준과 8 s인 기준은 초고층·장주기 구조물에 3.2배 다른 변위요구를 부과하게 된다.

그림 5. 동일 부지($S_{DS}=0.55g$, $S_{D1}=0.28g$, 평탄부 일치)에 대한 세 기준의 설계스펙트럼. (a) 가속도 — KDS와 ASCE 2주기 곡선은 $T\le T_L$에서 완전히 겹친다. (b) 변위 — $T_L$(또는 $T_D$) 이후 변위요구가 상수로 고정되며, 그 상수값이 기준마다 크게 다르다.

그림 5는 동일한 부지 설계값($S_{DS}=0.55g$, $S_{D1}=0.28g$)에 대해 세 기준의 스펙트럼을 겹쳐 그린 것이다. 가속도 도시(a)에서는 세 곡선이 $T\approx 2.5\mathrm{s}$까지 근접해 있어 차이가 사소해 보인다. 그러나 변위 도시(b)로 옮기면 $T_L$의 차이가 그대로 드러나, KDS는 174 mm, EN은 164 mm에서 변위요구가 평탄해지는 반면 ASCE는 $T_L$까지 선형 증가를 계속한다.

3.5 감쇠수정계수의 3자 비교

감쇠 처리는 세 기준이 서로 다른 층위에서 접근한다. EN 1998-1은 탄성스펙트럼 자체에 $\eta$를 곱하여 임의 감쇠비를 허용하고, ASCE/SEI 7은 기본 스펙트럼을 5 %에 고정한 채 감쇠장치 구조물에 대해서만 계수 $B$로 나누며(Table 18.7-1), KDS 41 17 00은 설계응답스펙트럼 단계에서 감쇠보정을 두지 않는다. 그림 6과 표 2는 이들을 Newmark–Hall 회귀식 및 본 고의 산정값과 함께 비교한 것이다.

그림 6. 감쇠수정계수의 비교. 본 고의 직접계산(${\alpha }_A$ 비)과 Newmark–Hall 회귀식은 잘 일치하는 반면, EN 1998-1의 $\eta$는 저감쇠측에서 낮고 고감쇠측에서 보수적이다. ASCE/SEI 7의 $1/B$는 30 %에서 EN의 하한 0.55에 수렴한다.

표 2. 감쇠수정계수 비교 (5 % 감쇠 기준 정규화)

감쇠비 $\zeta$	본 고 산정 (${\alpha }_A$ 비)	Newmark–Hall 식 (15)	EN 1998-1 $\eta$	ASCE/SEI 7 $1/B$	EN의 편차 (대 N–H)
2 %	1.42	1.30	1.20	1.25	−8 %
5 %	1.00	1.00	1.00	1.00	—
10 %	0.75	0.78	0.82	0.83	+5 %
20 %	0.56	0.55	0.63	0.67	+14 %
30 %	—	0.43	0.55 (하한)	0.56	+28 %

표 2에서 읽어야 할 것은 기울기의 차이이다. 본 고의 직접계산과 Newmark–Hall 회귀식은 서로 잘 일치하지만(20 %에서 0.56 대 0.55), EN의 $\eta$는 양 끝에서 모두 이들과 벌어진다. 저감쇠측에서 EN은 요구를 8~16 % 과소평가하며, 이는 감쇠비 2 % 내외인 용접강구조·프리스트레스트 콘크리트 구조에 불리하게 작용한다. 반대로 고감쇠측에서는 $\eta \ge 0.55$의 하한 때문에 EN이 14~28 % 보수적이 되는데, 이는 감쇠 증가만으로 무한정 요구를 줄이는 것을 막으려는 의도적 안전장치로 보아야 한다. ASCE의 $1/B$는 30 %에서 0.56으로 EN의 하한과 거의 일치하여, 두 체계가 서로 다른 경로로 유사한 실무적 한계에 도달했음을 보여준다.

4. 설계 예제

(1) 응답스펙트럼 값에서 단자유도계의 내력·에너지를 산정하는 기본 변환, (2) 지반운동 최고값만으로 Newmark–Hall 설계스펙트럼을 작성하고 실측 스펙트럼과 대조하는 검증, (3) 동일 부지에 대한 세 기준의 설계요구 비교의 세 단계로 구성한다. 단위는 SI를 주로 하고 원자료가 미국 관용단위인 경우 병기하며, 반올림은 최종 단계에서만 수행하고 중간값은 유효숫자 5자리를 유지한다.

4.1 [1단계] 스펙트럼 값에서 내력·에너지로

주어진 조건 — 1940 El Centro 지반운동(NS 성분)에 대해 $T_n=0.5\mathrm{s}$, $\zeta =2\mathrm{\%}$인 SDF 시스템의 최고변형은 $D=2.67\mathrm{in}=67.818\mathrm{mm}$이다. 구조물 중량 $w=\mathrm{5,000}\mathrm{kN}$, 유효높이 $h=5.0\mathrm{m}$의 단층 골조로 이상화한다.

① 동적 특성

$${\omega }_n=\frac{2\pi }{0.5}=12.566\mathrm{rad}/\mathrm{s},m=\frac{w}{g}=\frac{5000}{9.80665}=509.86\mathrm{kN}\cdot {\mathrm{s}}^2/\mathrm{m}$$

(17)

$$k=m{\omega }_n^2=509.86\times (12.566{)}^2=\mathrm{80,514}\mathrm{kN}/\mathrm{m}$$

(18)

② 유사속도·유사가속도 — 식 (3)에 의해

$$V={\omega }_{n}D=12.566\times 0.067818=0.85223\mathrm{m}/\mathrm{s}(=33.6\mathrm{in}/\mathrm{s})$$

(19)

$$A={\omega }_n^{2}D=157.91\times 0.067818=10.709\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2=1.0921g$$

(20)

③ 밑면전단력·전도모멘트 — 식 (7)에 의해 $V_{bo}=(A/g)w=1.0921\times 5000=\mathrm{5,460}\mathrm{kN}$, $M_{bo}=h{V}_{bo}=5.0\times 5460=\mathrm{27,301}\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$.

④ 최고변형에너지 — 식 (8)의 두 경로가 일치함을 확인한다.

$$\frac{m{V}^2}{2}=\frac{509.86\times {0.85223}^2}{2}=185.15\mathrm{kJ},\frac{k{D}^2}{2}=\frac{80514\times {0.067818}^2}{2}=185.15\mathrm{kJ}$$

(21)

1단계 결과  $V=0.852\mathrm{m}/\mathrm{s}$  /  $A=1.092g$  /  $V_{bo}=\mathrm{5,460}\mathrm{kN}(=1.092w)$  /  $M_{bo}=\mathrm{27,301}\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$  /  $E_{So}=185.2\mathrm{kJ}$
밑면전단력계수 $A/g=1.09$는 탄성 요구값이며, 실제 설계에서는 $R$ 또는 $q$로 축소된다. 이 축소의 근거는 본 고의 범위 밖이다.

4.2 [2단계] Newmark–Hall 설계스펙트럼의 작성과 검증

El Centro 기록의 지반운동 최고값은 ${\ddot{u}}_{go}=0.319g=3.1283\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$, ${\dot{u}}_{go}=13.04\mathrm{in}/\mathrm{s}=331.2\mathrm{mm}/\mathrm{s}$, $u_{go}=8.40\mathrm{in}=213.4\mathrm{mm}$이다. 무차원 조합은

$$\frac{{\ddot{u}}_{go}{u}_{go}}{{\dot{u}}_{go}^2}=\frac{3.1283\times 0.21336}{{0.33122}^2}=6.08$$

(22)

로, Newmark–Hall이 표준 지반운동에 대해 채택한 값 약 6과 잘 부합한다. 식 (11)에 $\zeta =5\mathrm{\%}$ 중앙값 증폭계수 ${\alpha }_A=2.12$, ${\alpha }_V=1.65$, ${\alpha }_D=1.39$를 적용하면

$$A=2.12\times 3.1283=6.6320\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2=0.676g,V=1.65\times 0.33122=0.54651\mathrm{m}/\mathrm{s},D=1.39\times 0.21336=0.29657\mathrm{m}$$

(23)

식 (12)로 구간 경계를 산정한다.

$$T_c=\frac{2\pi \times 0.54651}{6.6320}=0.518\mathrm{s},T_d=\frac{2\pi \times 0.29657}{0.54651}=3.41\mathrm{s}$$

(24)

검증 — El Centro 실측 응답스펙트럼($\zeta =5\mathrm{\%}$)을 4방향 대수그래프에서 이상화하면 $T_c\approx 0.5\mathrm{s}$, $T_d\approx 3.0\mathrm{s}$를 얻는 것으로 알려져 있다. 식 (24)는 각각 +3.6 %, +13.7 %의 편차로 이를 재현한다. 즉 지반운동의 세 최고값과 증폭계수만으로 실측 스펙트럼의 구간 구조가 10 % 내외로 복원된다. 84.1 백분위 계수(2.71 / 2.30 / 2.01)를 쓰면 $A=0.865g$, $T_c=0.565\mathrm{s}$, $T_d=3.54\mathrm{s}$로 평탄부는 28 % 상승하나 구간 경계는 거의 이동하지 않는다. 백분위 선택이 높이는 바꾸되 형상은 거의 바꾸지 않는다는 이 성질이, 코드가 단일 형상에 신뢰도 목표만 조정하여 대응할 수 있는 근거이다.

2단계 결과  중앙값 : $A=0.676g$, $V=547\mathrm{mm}/\mathrm{s}$, $D=297\mathrm{mm}$, $T_c=0.518\mathrm{s}$, $T_d=3.41\mathrm{s}$
 84.1 백분위 : $A=0.865g$, $V=762\mathrm{mm}/\mathrm{s}$, $D=429\mathrm{mm}$, $T_c=0.565\mathrm{s}$, $T_d=3.54\mathrm{s}$

4.3 [3단계] 동일 부지에 대한 세 기준의 요구 비교

부지 조건 — 설계값 $S_{DS}=0.55g$, $S_{D1}=0.28g$가 주어진 중간 강성 토사지반으로 가정한다. 이로부터 $T_0=0.2\times 0.28/0.55=0.1018\mathrm{s}$, $T_S=0.28/0.55=0.5091\mathrm{s}$이고, $T=0$ 앵커는 $0.4S_{DS}=0.220g$이다. EN 1998-1은 Type 1 · 지반종류 C($S=1.15$, $T_B=0.20\mathrm{s}$, $T_C=0.60\mathrm{s}$, $T_D=2.0\mathrm{s}$, $\eta =1.0$)를 적용하고, 동일한 $T=0$ 앵커를 갖도록 $a_g=0.220/1.15=0.1913g$로 역산한다. 이렇게 하면 세 기준의 평탄부가 모두 $0.550g$로 일치하므로, 이후 나타나는 차이는 전적으로 형상 규정에서만 비롯된다. ASCE는 2주기 경로(ELF Method 2)에 $T_L=8\mathrm{s}$를 적용한다.

표 3. 동일 부지에 대한 세 기준의 스펙트럼가속도 및 스펙트럼변위 ($S_d=(T/2\pi {)}^2{S}_a$)

주기 $T$	스펙트럼가속도 $S_a$, $g$			스펙트럼변위 $S_d$, mm
	KDS	ASCE (2주기)	EN 1998-1	KDS	ASCE	EN
0.10 s	0.544	0.544	0.385	1.4	1.4	1.0
0.30 s	0.550	0.550	0.550	12.3	12.3	12.3
0.90 s	0.311	0.311	0.367	62.6	62.6	73.8
2.50 s	0.112	0.112	0.106	173.9	173.9	163.9
3.00 s	0.0778	0.0933	0.0733	173.9	208.7	163.9
5.00 s	0.0280	0.0560	0.0264	173.9	347.8	163.9

① 강성 구조물 ($T=0.10\mathrm{s}$) — EN이 0.385 g로 KDS·ASCE의 0.544 g보다 29 % 낮다. KDS·ASCE는 $T_0=0.102\mathrm{s}$로 이미 평탄부에 진입한 반면 EN은 $T_B=0.20\mathrm{s}$까지 상승분기가 계속되기 때문이다. 저층 전단벽 구조와 기계·전기 설비 지지구조에서 기준 간 요구가 30 % 가까이 갈리는 것은 결코 사소하지 않다.

② 중간주기 구조물 ($T=0.90\mathrm{s}$) — 이번에는 EN이 0.367 g로 KDS·ASCE의 0.311 g보다 17.9 % 높다. 비율은 정확히 $T_C/T_S=0.60/0.5091=1.179$이며, EN의 속도구간 개시점이 더 늦기 때문이다. 중량 5,000 kN 구조물의 탄성 밑면전단력은 KDS·ASCE 1,556 kN 대 EN 1,833 kN이 된다.

③ 장주기 구조물 ($T=5.0\mathrm{s}$) — ASCE가 0.0560 g로 KDS의 0.0280 g의 정확히 2.0배이다. 변위로 보면 348 mm 대 174 mm이다. §3.4에서 예고한 대로, 이 2배 차이는 오직 $T_L$이 8 s인지 2.5 s인지에서만 발생한다.

3단계 결과 — 평탄부가 동일함에도
$T=0.10\mathrm{s}$ : EN이 KDS 대비 −29 % (상승분기 코너 $T_B$ vs $T_0$)
$T=0.90\mathrm{s}$ : EN이 KDS 대비 +17.9 % (속도구간 개시점 $T_C$ vs $T_S$)
$T=5.0\mathrm{s}$ : ASCE가 KDS 대비 +100 % (장주기 전이주기 $T_L$)
세 차이는 모두 형상 규정에서만 기인하며, 지반가속도나 평탄부 증폭과는 무관하다.

5. 고찰

5.1 유사가속도–참가속도 혼동이 실무에서 만드는 오류

§2.2의 정량화는 두 개의 실무 결론으로 이어진다. 부재 설계, 즉 내력을 구하는 목적에서는 유사가속도가 정확한 양이므로(식 6) 혼동이 성립하지 않는다. 문제는 가속도 자체가 요구값인 경우, 즉 비구조요소·설비의 고정 설계와 층응답스펙트럼 작성에서 발생한다. 이때 필요한 것은 참 최고전가속도이며, 감쇠가 큰 시스템에서 유사가속도를 그대로 쓰면 과소평가가 된다($\zeta =20\mathrm{\%}$, $T=3\mathrm{s}$에서 12 %).

더 심각한 것은 유사속도이다. 점성감쇠기의 출력은 상대속도의 함수이므로 $V$를 상대속도로 대입하면 그림 2(b)의 배율만큼 오차가 실린다. 장주기측에서 $V$가 참 상대속도의 0.35배에 불과하다는 것은, 장주기 구조물의 감쇠기 용량을 유사속도로 산정하면 심각한 과소설계가 될 수 있음을 뜻한다. 유사속도는 에너지 지표(식 8)로만 사용되어야 한다.

5.2 2주기 이상화의 유효 범위와 KDS에의 시사

ASCE/SEI 7-22의 MPRS 전환은 2주기 이상화가 틀렸다는 선언이 아니라, 그것이 대리 변수였음을 인정하고 대리를 걷어낼 자료가 갖추어졌다는 선언이다. 형상이 고정된 상태에서 실제 스펙트럼과의 어긋남을 흡수하는 유일한 방법은 형상 자체를 보수적으로 두는 것인데, 이는 어긋나지 않는 부지에서 불필요한 과설계가 된다.

KDS 41 17 00은 여전히 2주기 형상을 유지하며, 검토할 가치가 있는 지점은 세 가지이다. 첫째, 평탄부 증폭 2.5는 캘리포니아 기록 앙상블에서 유도된 값으로, 본 고의 합성 앙상블에서도 ${\alpha }_A$가 지반운동의 진동수 내용에 민감함을 확인한 이상 한반도 지반운동에 대한 재검증이 축적될 필요가 있다. 둘째, $T_L=2.5\mathrm{s}$ 고정은 장주기 구조물의 변위요구를 상수로 묶어 버리는데, 이 값이 국내 시나리오 규모대에 정합적인지는 별도 논거를 요한다. 셋째, 설계스펙트럼 단계에 감쇠보정이 없어 제진 구조물 설계가 별도 절차에 전적으로 의존한다.

5.3 코드 최소값을 넘어 공학적 판단이 필요한 국면

다음 상황에서는 스펙트럼 형상을 코드 최소값으로 두는 것이 적절하지 않다.

• $T_L$ 근방의 장주기 구조물 — 변위요구가 상수로 고정되는 지점이 구조물 주기와 가까우면 형상 규정의 임의성이 결과를 지배한다. 부지 고유 재해해석 또는 다주기 좌표의 확보가 필요하다.
• 유효감쇠 15 % 이상의 면진·제진 구조물 — 유사가속도와 참가속도의 괴리, 감쇠수정계수 체계의 기준 간 불일치(표 2)가 동시에 작동한다. 층가속도 요구는 시간이력해석으로 직접 산정함이 안전하다.
• $T<T_B$ 구간의 강성 구조물 — 상승분기 규정만으로 30 % 차이가 나며, 설비·부속구조 고정 설계에서 지배적이다.
• 펄스형 근단층 지반운동 — 이상화의 통계적 기반이 광역 기록 앙상블이므로, 방향성 펄스가 지배하는 기록은 이 형상으로 대표되지 않는다.

5.4 미해결 문제

첫째, 증폭계수의 지역 의존성이다. Newmark–Hall 계수가 40여 년간 전 세계 기준의 골격을 제공해 왔으나, 판내부 저지진도 지역의 고주파 우세 지반운동에 대한 별도의 계수군은 표준화되지 않았다. 둘째, 감쇠수정계수의 주기 의존성이다. 표 2의 계수는 모두 주기와 무관한 단일 값이지만, 그림 6에서 보듯 ${\alpha }_V$·${\alpha }_D$의 감쇠 민감도는 ${\alpha }_A$와 뚜렷이 다르다(20 %에서 0.57, 0.71 대 0.56). 셋째, 다주기 스펙트럼이 등가정적해석의 $C_s$ 상·하한, 층간변위 검토, 부속구조 설계와 정합적으로 접속되는 방식은 실무 경험이 축적되는 단계에 있다.

6. 결론

• (1) 유사가속도 $A$는 전가속도의 근사가 아니라 탄성복원력을 질량으로 나눈 정확한 값이며($f_{So}=mA$), 유사속도 $V$는 최고변형에너지의 정확한 지표($E_{So}=m{V}^2/2$)이다. 두 양의 "유사"는 오차가 아니라 참조 대상의 차이를 뜻한다.
• (2) 합성 지반운동 30개에 대한 정적분 해석 결과 $A$는 $\zeta =5\mathrm{\%}$에서 $T_n\le 17.7\mathrm{s}$까지 참 최고전가속도와 5 % 이내로 일치하나 $\zeta =20\mathrm{\%}$에서는 $T_n=0.22\mathrm{s}$부터 오차가 5 %를 넘는다. 반면 $V/{\dot{u}}_o$는 0.35에서 8.06까지 23배 범위로 변동한다.
• (3) 지반운동의 세 최고값과 Newmark–Hall 증폭계수만으로 산정한 구간 경계는 El Centro 실측 스펙트럼의 $T_c$, $T_d$를 각각 +3.6 %, +13.7 %의 편차로 재현하였다. 증폭계수의 백분위 선택은 스펙트럼의 높이를 바꾸되 형상은 거의 바꾸지 않는다.
• (4) 평탄부 증폭 2.5는 물리상수가 아니라 Newmark–Hall 중앙값 2.12와 84.1 백분위 2.71 사이의 신뢰도 선택이다. KDS·ASCE의 $T=0$ 앵커 $0.4S_{DS}$는 이 2.5의 역수로 구성되어 설계수준 지반가속도와 정확히 일치한다.
• (5) 평탄부가 동일한 부지에서도 형상 규정만으로 $T=0.10\mathrm{s}$에서 29 %($T_B$ 대 $T_0$), $T=0.90\mathrm{s}$에서 17.9 %($T_C$ 대 $T_S$), $T=5.0\mathrm{s}$에서 100 %($T_L$)의 요구 차이가 발생한다. 장주기측 차이가 압도적이며, 이는 $1/T^2$ 분기에서 스펙트럼변위가 $T_L{S}_{D1}/4{\pi }^2$의 상수로 고정되기 때문이다.
• (6) EN 1998-1의 $\eta$는 저감쇠측에서 역학적 추정보다 8~16 % 낮고, 고감쇠측에서는 하한 0.55로 인해 14~28 % 보수적이다. KDS 41 17 00은 설계스펙트럼 단계에서 감쇠보정을 두지 않으므로, 감쇠비 2 % 내외 구조물과 제진 구조물 모두에 대해 별도 절차가 요구된다.

핵심 요약 (Key Takeaways)

• $A$는 힘의 정확한 지표, $V$는 에너지의 정확한 지표, $D$만이 변위이다. 가속도·속도가 필요하면 참값을 따로 구하라.
• 세 구간 경계 $T_0$($T_B$), $T_S$($T_C$), $T_L$($T_D$)이 기준 간 차이의 거의 전부를 만든다.
• $T_L$ 이후 스펙트럼변위는 $T_L{S}_{D1}g/4{\pi }^2$의 상수이다. $T_L$이 2배면 장주기 변위요구도 2배다.
• 평탄부 2.5는 Newmark–Hall 중앙값(2.12)과 84.1 백분위(2.71) 사이의 신뢰도 선택이지 물리상수가 아니다.

기호 및 약어

표 4. 본 고에서 사용한 기호

기호	정의	단위	비고
$u,\dot{u},\ddot{u}$	지반에 대한 상대변위 · 상대속도 · 상대가속도	m, m/s, m/s²	—
${\ddot{u}}^t$	전(全)가속도 $=\ddot{u}+{\ddot{u}}_g$	m/s²	식 (4)
${\ddot{u}}_g,{\dot{u}}_{go},u_{go}$	지반가속도 및 지반운동 최고 속도 · 변위	m/s², m/s, m	${\ddot{u}}_{go}$ = PGA
$D,V,A$	최고변형 · 유사속도 · 유사가속도	m, m/s, m/s²	식 (3)
$T_n,{\omega }_n,\zeta$	고유주기 · 고유각진동수 · 감쇠비	s, rad/s, –	—
$m,c,k,w$	질량 · 감쇠계수 · 강성 · 중량	kN·s²/m, kN·s/m, kN/m, kN	—
$f_{So},V_{bo},M_{bo},E_{So}$	최고 등가정적하중 · 밑면전단력 · 전도모멘트 · 변형에너지	kN, kN, kN·m, kJ	식 (6)–(8)
${\alpha }_A,{\alpha }_V,{\alpha }_D$	가속도 · 속도 · 변위 증폭계수	–	Newmark–Hall
$T_c,T_d$	가속도–속도 · 속도–변위 민감구간 경계	s	식 (12)
$S_{DS},S_{D1}$	단주기 · 1초주기 설계스펙트럼가속도	$g$	KDS, ASCE
$T_0,T_S,T_L$	상승분기 코너 · 속도구간 개시 · 장주기 전이주기	s	KDS, ASCE
$a_g,S,T_B,T_C,T_D$	기준지반가속도 · 지반계수 · 스펙트럼 코너주기	$g$, –, s	EN 1998-1
$\eta ,B$	감쇠수정계수 (EN) · 감쇠계수 (ASCE, 분모)	–	식 (14), Table 18.7-1
$S_a,S_d$	스펙트럼가속도 · 스펙트럼변위	$g$, mm	식 (16)
$F_a,F_v$	단주기 · 장주기 지반증폭계수	–	KDS, ASCE
$\varphi ,{\gamma }_F,{\gamma }_M$	강도감소계수 · 작용 부분계수 · 재료 부분계수	–	안전율 형식

약어 — SDF : single-degree-of-freedom(단자유도) · PGA : peak ground acceleration(최고지반가속도) · MPRS : multi-period response spectra(다주기 응답스펙트럼) · PSHA : probabilistic seismic hazard analysis(확률론적 지진재해해석) · ELF : equivalent lateral force(등가정적해석법) · DMF : damping modification factor(감쇠수정계수) · MCE${}_R$ : risk-targeted maximum considered earthquake · NA : National Annex(국가부속서)

참고문헌

1. 국토교통부. KDS 41 17 00 : 2022 건축물 내진설계기준. 국가건설기준센터, 2022.
2. 국토교통부. KDS 17 10 00 내진설계 일반. 국가건설기준센터. (지진구역계수 및 위험도계수 규정)
3. American Society of Civil Engineers. ASCE/SEI 7-22, Minimum Design Loads and Associated Criteria for Buildings and Other Structures. Reston, VA : ASCE, 2022. (§11.4.5 설계응답스펙트럼, §12.8 등가정적해석, Chapter 18 감쇠장치 구조물)
4. American Society of Civil Engineers. ASCE/SEI 41-17, Seismic Evaluation and Retrofit of Existing Buildings. Reston, VA : ASCE, 2017.
5. CEN. EN 1998-1:2004, Eurocode 8 — Design of Structures for Earthquake Resistance, Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings. Brussels : CEN, 2004. (§3.2.2 탄성응답스펙트럼) — 2세대 유로코드 8(EN 1998-1-1 / 1998-1-2)로의 개정 및 국가부속서 정비가 진행 중이다.
6. CEN. EN 1990:2002, Eurocode — Basis of Structural Design. Brussels : CEN, 2002.
7. Biot, M. A. "A Mechanical Analyzer for the Prediction of Earthquake Stresses." Bulletin of the Seismological Society of America, 31(2), 1941, pp. 151–171. (개념의 원형은 1932년 California Institute of Technology 학위논문에 제시되었다.)
8. Housner, G. W. "Spectrum Intensities of Strong-Motion Earthquakes." Proceedings of the Symposium on Earthquake and Blast Effects on Structures, Earthquake Engineering Research Institute, 1952, pp. 20–36.
9. Veletsos, A. S., and Newmark, N. M. "Effect of Inelastic Behavior on the Response of Simple Systems to Earthquake Motions." Proceedings of the 2nd World Conference on Earthquake Engineering, Tokyo, Vol. II, 1960, pp. 895–912.
10. Newmark, N. M., and Hall, W. J. Earthquake Spectra and Design. EERI Monograph Series MNO-3, Berkeley, CA : Earthquake Engineering Research Institute, 1982.
11. Nigam, N. C., and Jennings, P. C. "Calculation of Response Spectra from Strong-Motion Earthquake Records." Bulletin of the Seismological Society of America, 59(2), 1969, pp. 909–922.
12. Chopra, A. K. Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, 5th ed. Hoboken, NJ : Pearson, 2017. (Chapter 6, 응답스펙트럼과 탄성 설계스펙트럼)
13. Building Seismic Safety Council. NEHRP Recommended Seismic Provisions for New Buildings and Other Structures, FEMA P-2082, 2020 Edition, Part 1 (Provisions) and Part 3 (Resource Papers). Washington, D.C. : FEMA, 2020. (다주기 응답스펙트럼 제안 및 근거)
14. U.S. Geological Survey. Seismic Design Geodatabase and Multi-Period Response Spectra Supporting ASCE/SEI 7-22. USGS Earthquake Hazards Program.
15. Tajimi, H. "A Statistical Method of Determining the Maximum Response of a Building Structure during an Earthquake." Proceedings of the 2nd World Conference on Earthquake Engineering, Tokyo, Vol. II, 1960, pp. 781–798.
16. Clough, R. W., and Penzien, J. Dynamics of Structures, 2nd ed. New York : McGraw-Hill, 1993. (Clough–Penzien 필터 및 확률론적 지반운동 모형)
17. Jennings, P. C., Housner, G. W., and Tsai, N. C. Simulated Earthquake Motions. Earthquake Engineering Research Laboratory Report, California Institute of Technology, Pasadena, CA, 1968. (강도 포락함수 모형)

본 고의 그림 1·2·3·6에 사용된 응답스펙트럼은 저자가 생성한 합성 지반운동 30개(Clough–Penzien 필터 백색잡음, Kanai–Tajimi 중심주파수 2.5 Hz, Jennings형 포락, 대역 0.05–25 Hz, PGA 0.30 g 정규화)에 대해 Nigam–Jennings 구간선형 정적분법으로 직접 계산한 것이며, 특정 실기록의 재현이 아니다. 그림 5의 세 기준 설계스펙트럼은 본문에 명시한 부지 설계값으로부터 각 기준의 규정식을 직접 평가한 것이다. 모든 도해는 저자가 작성한 원본 SVG이다.